最后更新: 2025-04-06 07:13 查看: 453 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

平面向量基本定理

## 平面向量基本定理
数学的任务就是把万事万物用数来刻画, 用运算来研究. 我们知道, 一条直线上所有的向量都可以写成该直线上单位向量 $e$ 的实数倍, 如 $\overrightarrow{O A}=x e$, 并且用实数 $x$来代表 (这就好比用 $e$ 作为"尺子"来度量 $\overrightarrow{O A}$, 得到量数 $x$ ).
容易知道直线上的向量 $a =x e , b =y e$ 的和或差 $a \pm b =(x \pm y) e$ ，可用 $x \pm y$ 代表； $\lambda a =(\lambda x) e$ 可用 $\lambda x$代表. 于是, 共线**向量运算** $a \pm b , \lambda a$ 可转化为**实数运算** $x \pm y, \lambda x$.

> 上面的$e$被称作尺子，这个比喻非常好，我们能够想象，要测量物体都行必须要一个基准的尺子，这个尺子更专业的名字就是“**测度**”，比如测量身高用“米”，测量重量用“千克”，有了尺子后，连**集合**都可以测量。

那么如何测量平面上的一个向量呢？直觉告诉我们，要测量平面上的一个向量，需要两边尺子，而且这两边尺子不能共线。

假设给你2把尺子$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$和一个向量$\boldsymbol{a}$ ，参考下图，如何用 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 测量$\boldsymbol{a}$ 呢？

![图片](/uploads/2025-04/ca4592.jpg)

因为向量有一个性质：**长度相等，方向相同的两个向量是相等向量**，上面$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 这2个向量起始点不一样，所以，我们把$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 进行平移，让他们起始点重合，并命名为$O$，这样 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 就组成了一个坐标系，接下来在把$\boldsymbol{a}$的起点也平移到$O$ ，这样就可以在坐标系里“测量” $\boldsymbol{a}$ 向量，参考下图

![图片](/uploads/2025-04/82574b.jpg)

想象一下，$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 为什么不能共线，假设如下图 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 共线后， $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$  无法扩张为平行四边形，自然无法表示出向量$\boldsymbol{a}$

![图片](/uploads/2025-04/986c96.jpg)

### 平面向量基本定理
给定不平行的两个向量 $\vec{e}_1, ~ \vec{e}_2$ 和任意一个向量 $\vec{a}$ ，如上图所示．从任意给定的一点 $O$ 出发，作向量 $\overrightarrow{O E_1}=\overrightarrow{e_1}$ ， $\overrightarrow{O E_2}=\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{O A}=\vec{a}$ ，过点 $A$ 作平行于直线 $O E_2$ 的直线，交直线 $O E_1$ 于点 $M$ ，并作平行于直线 $O E_1$ 的直线，交直线 $O E_2$ 于点 $N$ ，则 $O M A N$ 是平行四边形，$O A$ 是其对角线，根据**向量的平行是不是法则**，从而 $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}$ ．由于 $\overrightarrow{O M} / / \overrightarrow{O E_1}$ ，因此存在实数 $\lambda$使 $\overrightarrow{O M}=\lambda \overrightarrow{O E_1}=\lambda \overrightarrow{e_1}$ ；同理，存在实数 $\mu$ 使 $\overrightarrow{O N}=\mu \overrightarrow{e_2}$ ．于是，$\vec{a}=$ $\lambda \overrightarrow{e_1}+\mu \overrightarrow{e_2}$.

下面再证明这个实数对是唯一的．假设还成立 $\vec{a}=\lambda^{\prime} \overrightarrow{e_1}+$ $\mu^{\prime} \overrightarrow{e_2}$ ，就有

$$
\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) \overrightarrow{e_1}=-\left(\mu-\mu^{\prime}\right) \overrightarrow{e_2}
$$

由于 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 不平行，因此 $\lambda-\lambda^{\prime}=\mu-\mu^{\prime}=0$ ，即 $\lambda=\lambda^{\prime}, \mu=\mu^{\prime}$ ．由此证明了唯一性。

因此，**平面向量基本定理可以表述为**

> **如果 $e_1, e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么，对于这一平面内的任一向量 $a$ ，存在唯一一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$ ，使得 $a =\lambda_1 e _1+\lambda_2 e _2 .$   我们把不共线的向量 $e _1, e _2$ 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底（base）．而把 $(\lambda_1, \lambda_2)$ 叫做坐标**

`例` 如图 1.4-2, 平行四边形 $A B C D$ 的边 $B C$ 和 $C D$ 的中点分别是 $E, F$. 取 $\{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\}$ 为平面的一组基, 分别求向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{E F}$ 在基 $\{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\}$下的坐标.
 ![图片](/uploads/2024-12/d36108.jpg)
 
 解：
 $$
 \begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=1 \overrightarrow{A B}+0 \overrightarrow{A D}, \\
& \overrightarrow{A D}=0 \overrightarrow{A B}+1 \overrightarrow{A D}, \\
& \begin{aligned}
\overrightarrow{B C} & =\overrightarrow{A D}=0 \overrightarrow{A B}+1 \overrightarrow{A D}, \\
\overrightarrow{C D} & =-\overrightarrow{A B}=(-1) \overrightarrow{A B}+0 \overrightarrow{A D}, \\
\overrightarrow{E F} & =\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{C F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C D} \\
& =\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D},
\end{aligned}
\end{aligned}\\
&\text { 因此 }, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{E F} \text { 在基 }\{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\} \text { 下的坐标分别为 }\\
&(1,0),(0,1),(0,1),(-1,0),\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\end{aligned}
$$

`例` 设 $\alpha , \beta , \gamma$ 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 $\alpha + \beta$与 $\gamma$ 共线， $\beta + \gamma$ 与 $\alpha$ 共线，试证 $\alpha + \beta + \gamma = 0$ 。

分析 两向量共线的充分必要条件是两个向量成比例．
证 由 $\alpha + \beta$ 与 $\gamma$ 共线，设 $\alpha + \beta =k \gamma ...(1) $ ，再由 $\beta + \gamma$ 与 $\alpha$ 共线，设 $\beta + \gamma =l \alpha ...(2) $ ，
其中 $k, l$ 是常数．式（1）减式（2），得到

$$
\begin{gathered}
\alpha - \gamma =k \gamma -l \alpha , \\
(1+l) \alpha =(1+k) \gamma .
\end{gathered}
$$

由题设 $\alpha , \gamma$ 均非零向量，若 $l \neq-1, k \neq-1$ ，则 $\alpha$ 与 $\gamma$ 成比例，从而 $\alpha$ 与 $\gamma$共线，与假设矛盾．所以 $l=-1, k=-1$ ，代入（1）式，有

$$
\alpha+ \beta + \gamma = 0
$$

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