最后更新: 2025-11-30 08:37 查看: 711 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平面向量基本定理

## 平面向量基本定理
平面向量基本定理想表达什么意思？其实很简单：
>  如果 $\boldsymbol{e_1}$ 和 $\boldsymbol{e_2}$ 是同一平面内的两个**不共线**的向量，那么对于这一平面内的**任何**向量$\boldsymbol{a}$，存在**唯一**的一对实数 $\lambda_1,\lambda_2$，使得：
$\boldsymbol{a} =\lambda_1 \boldsymbol{e_1} +\lambda_2 \boldsymbol{e_2}$

参考下图，平面上有两个不共线的向量$\vec{e_1},\vec{e_2}$，这两个向量你可以理解为坐标系的单位，那么对于任意一个向量$\vec{a}$,他都可以表示成

$$
\vec{a}=\lambda_1 \vec{e_1}+ \lambda_2 \vec{e_2}
$$

![图片](/uploads/2025-11/7fb273.jpg){width=200px}
 
两个**不共线**的向量 $\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}$ 构成了这个平面的一组**基底**，简称**基**，其实就是坐标系的意思。

定理中的“唯一”二字至关重要。它意味着对于给定的基底 {**e₁**, **e₂**}，任何一个向量 **a** 的“坐标” (λ₁, λ₂) 是确定的。 这为我们用有序实数对 (λ₁, λ₂) 来代表一个向量提供了理论保证。这个有序实数对就是向量 **a** 在基底 {**e₁**, **e₂**} 下的**坐标**。

`例` 设基底为$\boldsymbol{e_1}=(1,1)$， $\boldsymbol{e_2}=(1,-1)$。求向量$\boldsymbol{a}=(4,2)$ 在这组基底下的坐标。
解： 根据定理，我们需要找到实数 λ₁ 和 λ₂，使得：
λ₁(1, 1) + λ₂(1, -1) = (4, 2)
展开得：
(λ₁ + λ₂, λ₁ - λ₂) = (4, 2)

于是得到方程组：
λ₁ + λ₂ = 4
λ₁ - λ₂ = 2

解这个方程组：
(λ₁ + λ₂) + (λ₁ - λ₂) = 4 + 2 => 2λ₁ = 6 => λ₁ = 3
代入 λ₁ + λ₂ = 4 => 3 + λ₂ = 4 => λ₂ = 1

所以，向量 **a** 在基底 {**e₁**, **e₂**} 下的坐标是 (3, 1)。
即 **a = 3e₁ + 1e₂**。

`例` 设基底为$\boldsymbol{e_1}=(1,0)$， $\boldsymbol{e_2}=(0,1)$。求向量$\boldsymbol{a}=(4,2)$ 在这组基底下的坐标。
解： 根据定理，我们需要找到实数 λ₁ 和 λ₂，使得：
λ₁(1, 0) + λ₂(0, 1) = (4, 2)
展开得：
(λ₁,λ₂) = (4, 2)
解得
 λ₁ = 4
 λ₂ = 2

所以，向量 **a** 在基底 {**e₁**, **e₂**} 下的坐标是 (4, 2)。
即 **a = 4e₁ + 2e₂**。

> 比较例1和例2，可以看到，当你选的基不同，那么同一个向量的坐标并不相同。

但是，毫无疑问，例2的坐标更好，因为他的坐标值就是向量各个分量的值，这是后面我们研究的正交分解。

### 理解：平面向量基本定理
数学的任务就是把万事万物用数来刻画, 用运算来研究. 我们知道, 一条直线上所有的向量都可以写成该直线上单位向量 $e$ 的实数倍, 如 $\overrightarrow{O A}=x e$, 并且用实数 $x$来代表 (这就好比用 $e$ 作为"尺子"来度量 $\overrightarrow{O A}$, 得到量数 $x$ ).
容易知道直线上的向量 $a =x e , b =y e$ 的和或差 $a \pm b =(x \pm y) e$ ，可用 $x \pm y$ 代表； $\lambda a =(\lambda x) e$ 可用 $\lambda x$代表. 于是, 共线**向量运算** $a \pm b , \lambda a$ 可转化为**实数运算** $x \pm y, \lambda x$.

> 上面的$e$被称作尺子，这个比喻非常好，我们能够想象，要测量物体都行必须要一个基准的尺子，这个尺子测量的结果更专业的名字就是“**测度**”，通常，测量身高用“米”，测量重量用“千克”，有了尺子后，连**集合**都可以测量。

那么如何测量平面上的一个向量呢？直觉告诉我们，要测量平面上的一个向量，需要两边尺子，而且这两边尺子不能共线。

假设给你2把尺子$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$和一个向量$\boldsymbol{a}$ ，参考下图，如何用 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 测量$\boldsymbol{a}$ 呢？

![图片](/uploads/2025-04/ca4592.jpg)

因为向量有一个性质：**长度相等，方向相同的两个向量是相等向量**，上面$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 这2个向量起始点不一样，所以，我们把$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 进行平移，让他们起始点重合，并命名为$O$，这样 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 就组成了一个坐标系，接下来在把$\boldsymbol{a}$的起点也平移到$O$ ，这样就可以在坐标系里“测量” $\boldsymbol{a}$ 向量，参考下图

![图片](/uploads/2025-04/82574b.jpg)

想象一下，$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 为什么不能共线，假设如下图 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 共线后， $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$  无法扩张为平行四边形，自然无法表示出向量$\boldsymbol{a}$

![图片](/uploads/2025-04/986c96.jpg)

### 结论：平面向量基本定理
给定不平行的两个向量 $\vec{e}_1, ~ \vec{e}_2$ 和任意一个向量 $\vec{a}$ ，如上图所示．从任意给定的一点 $O$ 出发，作向量 $\overrightarrow{O E_1}=\overrightarrow{e_1}$ ， $\overrightarrow{O E_2}=\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{O A}=\vec{a}$ ，过点 $A$ 作平行于直线 $O E_2$ 的直线，交直线 $O E_1$ 于点 $M$ ，并作平行于直线 $O E_1$ 的直线，交直线 $O E_2$ 于点 $N$ ，则 $O M A N$ 是平行四边形，$O A$ 是其对角线，根据**向量的平行四边形法则**，从而 $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}$ ．由于 $\overrightarrow{O M} / / \overrightarrow{O E_1}$ ，因此存在实数 $\lambda$使 $\overrightarrow{O M}=\lambda \overrightarrow{O E_1}=\lambda \overrig

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