最后更新: 2025-04-06 07:13 查看: 629 次反馈同步训练

平面向量基本定理

## 平面向量基本定理
数学的任务就是把万事万物用数来刻画, 用运算来研究. 我们知道, 一条直线上所有的向量都可以写成该直线上单位向量 $e$ 的实数倍, 如 $\overrightarrow{O A}=x e$, 并且用实数 $x$来代表 (这就好比用 $e$ 作为"尺子"来度量 $\overrightarrow{O A}$, 得到量数 $x$ ).
容易知道直线上的向量 $a =x e , b =y e$ 的和或差 $a \pm b =(x \pm y) e$ ，可用 $x \pm y$ 代表； $\lambda a =(\lambda x) e$ 可用 $\lambda x$代表. 于是, 共线**向量运算** $a \pm b , \lambda a$ 可转化为**实数运算** $x \pm y, \lambda x$.

> 上面的$e$被称作尺子，这个比喻非常好，我们能够想象，要测量物体都行必须要一个基准的尺子，这个尺子更专业的名字就是“**测度**”，比如测量身高用“米”，测量重量用“千克”，有了尺子后，连**集合**都可以测量。

那么如何测量平面上的一个向量呢？直觉告诉我们，要测量平面上的一个向量，需要两边尺子，而且这两边尺子不能共线。

假设给你2把尺子$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$和一个向量$\boldsymbol{a}$ ，参考下图，如何用 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 测量$\boldsymbol{a}$ 呢？

![图片](/uploads/2025-04/ca4592.jpg)

因为向量有一个性质：**长度相等，方向相同的两个向量是相等向量**，上面$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 这2个向量起始点不一样，所以，我们把$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 进行平移，让他们起始点重合，并命名为$O$，这样 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 就组成了一个坐标系，接下来在把$\boldsymbol{a}$的起点也平移到$O$ ，这样就可以在坐标系里“测量” $\boldsymbol{a}$ 向量，参考下图

![图片](/uploads/2025-04/82574b.jpg)

想象一下，$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 为什么不能共线，假设如下图 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 共线后， $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$  无法扩张为平行四边形，自然无法表示出向量$\boldsymbol{a}$

![图片](/uploads/2025-04/986c96.jpg)

### 平面向量基本定理
给定不平行的两个向量 $\vec{e}_1, ~ \vec{e}_2$ 和任意一个向量 $\vec{a}$ ，如上图所示．从任意给定的一点 $O$ 出发，作向量 $\overrightarrow{O E_1}=\overrightarrow{e_1}$ ， $\overrightarrow{O E_2}=\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{O A}=\vec{a}$ ，过点 $A$ 作平行于直线 $O E_2$ 的直线，交直线 $O E_1$ 于点 $M$ ，并作平行于直线 $O E_1$ 的直线，交直线 $O E_2$ 于点 $N$ ，则 $O M A N$ 是平行四边形，$O A$ 是其对角线，根据**向量的平行是不是法则**，从而 $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}$ ．由于 $\overrightarrow{O M} / / \overrightarrow{O E_1}$ ，因此存在实数 $\lambda$使 $\overrightarrow{O M}=\lambda \overrightarrow{O E_1}=\lambda \overrightarrow{e_1}$ ；同理，存在实数 $\mu$ 使 $\overrightarrow{O N}=\mu \overrightarrow{e_2}$ ．于是，$\vec{a}=$ $\lambda \overrightarrow{e_1}+\mu \overrightarrow{e_2}$.

下面再证明这个实数对是唯一的．假设还成立 $\vec{a}=\lambda^{\prime} \overrightarrow{e_1}+$ $\mu^{\prime} \overrightarrow{e_2}$ ，就有

$$
\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) \overrightarrow{e_1}=-\left(\mu-\mu^{\prime}\right) \overrightarrow{e_2}
$$

由于 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 不平行，因此 $\lambda-\lambda^{\prime}=\mu-\mu^{\prime}=0$ ，即 $\lambda=\lambda^{\prime}, \mu=\mu^{\prime}$ ．由此证明了唯一性。

因此，**平面向量基本定理可以表述为**

> **如果 $e_1, e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么，对于这一平面内的任一向量 $a$ ，存在唯一一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$ ，使得 $a =\lambda_1 e _1+\lambda_2 e _2 .$   我们

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：两向量的夹角

下一篇：正交分解与坐标表示

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)