最后更新: 2025-04-07 20:36 查看: 282 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

两向量的夹角

## 两向量的夹角计算公式：推法1
### 平面两个向量夹角
已知 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y\right)$, 作 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}$ (图 5.13),
设 $\vec{a}$ 的方向角为 $\varphi_1, \vec{b}$ 的方向角为 $\varphi_2$, 我们把 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的方向差 $\varphi$ 定义为 $\varphi=\varphi_2-\varphi_1$, 这就是说 $\varphi$ 是射线 $O A$ 到射线 $O B$ 之间的旋转角, 也可说 $\varphi$ 是 $\vec{a}$ 到 $\vec{b}$ 的旋转角.

我们通常把两个向量之间的夹角写成 $ \varphi=\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle $

![图片](/uploads/2024-05/d40d94.jpg)

为了求两个向量的夹角，我们先看一个简单的特列：假设$b$向量为$x$轴，如下：这样两个向量夹角，就变成向量$\vec{a}$ 与$x$ 轴夹角。 
![图片](/uploads/2024-05/f527bc.jpg)

我们设 $\left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=\alpha,\left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=\beta$ ，所以
$$
\cos \alpha=\frac{a_x}{|\vec{a}|}, \quad \cos \beta=\frac{a_y}{|\vec{a}|}
$$

由三角函数的定义, 我们又知
$$
\cos \varphi=\frac{a_x}{|\vec{a}|}, \quad \sin \varphi=\frac{a_y}{|\vec{a}|}
$$

所以不论 $\varphi$ 取何值, 都有关系式
$$
\cos \varphi=\cos \alpha, \quad \sin \varphi=\cos \beta
$$

因此，一个向量角的正弦余弦可以用向量坐标表示。

现在证明向量的夹角公式。
由三角公式有
$$
\sin \varphi=\sin \left(\varphi_2-\varphi_1\right)=\sin \varphi_2 \cos \varphi_1-\cos \varphi_2 \sin \varphi_1
$$
$$
\sin \varphi_2=\frac{b_y}{|\vec{b}|}, \quad \cos \varphi_2=\frac{b_x}{|\vec{b}|}, \quad \sin \varphi_1=\frac{a_y}{|\vec{a}|}, \quad \cos \varphi_1=\frac{a_x}{|\vec{a}|}
$$

所以
$$
\sin \varphi=\frac{a_x b_y-a_y b_x}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$

且 
$$
\cos \varphi=\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{a_x b_x+a_y b_y}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$

又， $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_x b_x+a_y b_y, \quad|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}, \quad|\vec{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}$,

所以

$$
\boxed{
\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{a_x b_x+a_y b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2}}
} ...(1)
$$

就是求**两个向量夹角的余弦的计算公式**. 
 
 
 
### 空间两个向量的夹角
按照上面思路，可以计算三维空间里，两个向量的夹角，有兴趣的同学可以试着证明一下，点击 [空间向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2628)

已知向量 $\vec{A}, \vec{B}$ 分别为:
$$
\begin{aligned}
& \vec{A}=\left(a_x, a_y, a_z\right) \\
& \vec{B}=\left(b_x, b_y, b_z\right)
\end{aligned}
$$

则，向量 $\vec{A}, \vec{B}$ 之间的夹角为:
$$
\boxed{
cos \theta=  \dfrac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+b_y^2+c_z^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} ...(2)
}
$$

## 两向量的夹角计算公式：推法2
上面推导两个向量夹角采用的是三角函数法，还可以使用定义法求解两个向量的夹角。
**点积第一定义**：已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么这两个向量的点积定义为 （这里$|a|,|b|$ 分别表示向量$a，b$ 的模长，详见[模长的定义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1852)）
$$
a \cdot b=|a||b| \cos \theta ....①
$$

点积的几何意义是一个向量在另外一个向量上投影，详见 [点积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167) 介绍。
![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)

**点积第二定义** 在[向量的坐标表示](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342)里, 我们可以看到，两个向量$\boldsymbol{a}=(a_x,a_y)$ 和 $\boldsymbol{b}=(b_x,b_y)$ ，那么两个向量的点积为
$ a \cdot b =a_x b_x +a_y+b_y  ...②$

①② 表达的是同一个意思，所以应该相等，因此

$$
|a||b| \cos \theta =a_x b_x +a_y+b_y
$$

即
$$
\cos \theta=\dfrac{a_x b_x +a_y+b_y}{|a||b|}
$$

化简后，记得上面公式（1）

## 例题

`例` 已知 $A(\sqrt{3}, 1), B(0,1), C\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 求 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 之间的夹角.
解: 因为 $\overrightarrow{A B}=(-\sqrt{3}, 0), \overrightarrow{A C}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$,

所以

$$
\cos \langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\rangle=\frac{-\sqrt{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+0 \times\left(-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+0^2} \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$

因此,
$$
\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\rangle=\frac{\pi}{6}
$$

`例`有两个向量 $A=(1,2,3)$ 和 $B=(4,5,6)$ ，求其夹角。
解：这是三维度空间向量。
计算 $A \cdot B =(1 \times 4)+(2 \times 5)+(3  \times 6)=4+10+18=32$

计算 $|A|$ 和 $|B|$ 的模: 
$|A|=\sqrt{\left(1^2+2^+3^2\right)}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14 }$

$|B|=\sqrt{\left(4^2+5^2+6^2\right)}=\sqrt{ (16+25+36)}=\sqrt{ 77} $

所以  $cos \theta= \frac{32}{ \sqrt{14} \sqrt{77}}$

解出 $\theta =arccos  \frac{32}{ \sqrt{14} \sqrt{77}}$

此处使用了[反三角函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1424)

`例`求向量 $\vec{a}=(2,-1)$ 的方向余弦和 $\vec{a}_0$ 的坐标.
解：因为 $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$, 所以
$$
\begin{gathered}
\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \beta=\frac{-1}{\sqrt{5}} \\
\vec{a}_0=(\cos \alpha, \cos \beta)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)
\end{gathered}
$$

`例` 已知正方形 $A B C D$, 有 $A(-2,1), C(1,1)$. 求顶点 $B$ 和 $D$ 的坐标 (图 $5.15)$.

![图片](/uploads/2024-12/f077ba.jpg)
 
解: 设对角线 $\overline{A C}$ 与 $\overline{B D}$ 相交于 $E$ 点, 则 $E$ 点的坐标
$$
\begin{aligned}
x_E & =\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2} \\
y_E & =\frac{1+1}{2}=1 \\
\overrightarrow{E A} & =\left(-2-\left(-\frac{1}{2}\right), 1-1\right)=\left(-1 \frac{1}{2}, 0\right)
\end{aligned}
$$

由于 $\overrightarrow{E B} \perp \overrightarrow{E A}, \overrightarrow{E D} \perp \overrightarrow{E A}$, 且 $|\overrightarrow{E D}|=|\overrightarrow{E B}|=|\overrightarrow{E A}|$, 所以
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{E B}=\left(0,-1 \frac{1}{2}\right), \quad \overrightarrow{E D}=\left(9,1 \frac{1}{2}\right) \\
\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{E B}=\left(-\frac{1}{2}, 1\right)+\left(0,-1 \frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \\
\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{E D}=\left(-\frac{1}{2}, 1\right)+\left(0,1 \frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2}\right)
\end{gathered}
$$

所以 $B\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right), D\left(-\frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2}\right)$

`例`证明三角公式 $\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$.
 ![图片](/uploads/2024-05/a502f8.jpg)
 
 证明: 在坐标平面上 (图 5.16), 设 $\overrightarrow{O E_1}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O E_2}=(\cos \beta, \sin \beta)$,则
$$
\cos (\alpha-\beta)=\cos \left\langle\overrightarrow{O E_1}, \overrightarrow{O E_2}\right\rangle=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta
$$

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