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高中数学
第七章 平面向量与空间向量
向量的单位化
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更新:
2025-04-11 07:31
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向量的单位化
## 为什么要单位化 给你一个向量，我们怎么要测量他呢？向量有大小，有方向，所以要“测量”一个向量，就要有一把“尺子”。 这个尺寸要能表达向量的**方向**和**长度基准单位**。 很明显，对于这把尺子的长度，我们希望他的长度为“1”，而方向嘛，根据平行向量基本定理，需要是原向量的方向。 ## 向量的单位化 **在向量里，模为1的向量称为单位向量。** 那么给定一个向量，如何进行单位化呢？ 以二维平面向量为例，假设有一个向量$\vec{OA}$，坐标为$ \vec{a}=(2,3)$ , 根据勾股定理，可以计算得到 其长度为 $|OA|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ {width=250px} 现在要求他的单位向量$\vec{e}$, 只要把各个向量除以模即可。 即 $\vec{e}= (\frac{2}{\sqrt{13}} , \frac{3}{\sqrt{13}} )$ 换句话说，$\vec{e}$ 就是测量$\vec{OA}$的尺子。 这里$\vec{e}$ 其实包含了2个信息： ① 他的长度为1. 这是肯定的， 由他的坐标 $(\frac{2}{\sqrt{13}} , \frac{3}{\sqrt{13}} )$ 得模长为 $\sqrt{ \frac{2}{\sqrt{13}} ^2 + \frac{3}{\sqrt{13}}^2 }=1$ ② 他与$x$轴的夹角是知道的，根据坐标 $(\frac{2}{\sqrt{13}} , \frac{3}{\sqrt{13}} )$ 找到他的夹角正切值为 $ \tan \theta= \frac{3}{2}$ 因此，$\vec{e}$ 包含了 测量基准单位和方向，正是我们测量向量的“尺子”。 > 很明显，这里 $\vec{e}$ 只能测量与其平行或者相反的向量，如果向量和$\vec{e}$ 有夹角，是无法测量的。 通过上面的计算，我们找到了一个平面向量要单位化的计算公式: $$ \boxed{ \vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} . } $$ 这是一个重要的公式，这个公式表明，**给你一个向量
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