最后更新: 2025-04-11 07:31 查看: 131 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量的单位化

## 为什么要单位化
给你一个向量，我们怎么要测量他呢？向量有大小，有方向，所以要“测量”一个向量，就要有一把“尺子”。 这个尺寸要能表达向量的**方向**和**长度基准单位**。 很明显，对于这把尺子的长度，我们希望他的长度为“1”，而方向嘛，根据平行向量基本定理，需要是原向量的方向。

## 向量的单位化
**在向量里，模为1的向量称为单位向量。** 那么给定一个向量，如何进行单位化呢？

以二维平面向量为例，假设有一个向量$\vec{OA}$，坐标为$ \vec{a}=(2,3)$ , 根据勾股定理，可以计算得到
其长度为
$|OA|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

现在要求他的单位向量$\vec{e}$, 只要把各个向量除以模即可。
即

$\vec{e}= (\frac{2}{\sqrt{13}}  , \frac{3}{\sqrt{13}} )$

换句话说，$\vec{e}$ 就是测量$\vec{OA}$的尺子。 这里$\vec{e}$ 其实包含了2个信息：
① 他的长度为1. 这是肯定的， 由他的坐标 $(\frac{2}{\sqrt{13}}  , \frac{3}{\sqrt{13}} )$ 得模长为 $\sqrt{ \frac{2}{\sqrt{13}} ^2 + \frac{3}{\sqrt{13}}^2 }=1$

② 他与$x$轴的夹角是知道的，根据坐标 $(\frac{2}{\sqrt{13}}  , \frac{3}{\sqrt{13}} )$ 找到他的夹角正切值为
$ \tan \theta= \frac{3}{2}$

因此，$\vec{e}$ 包含了 测量基准单位和方向，正是我们测量向量的“尺子”。
> 很明显，这里 $\vec{e}$  只能测量与其平行或者相反的向量，如果向量和$\vec{e}$  有夹角，是无法测量的。

通过上面的计算，我们找到了一个平面向量要单位化的计算公式:
 
$$
\boxed{
\vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} .
}
$$
这是一个重要的公式，这个公式表明，**给你一个向量，求出他的模长，然后用各个分量除以模长，就是他的单位向量。**

他可以推广到三维或者n维。

## 空间向量的单位化
假设给你空间一个向量，如何单位化呢? 参考下图
`例`三维向量 $a=(1,1,1)$ ，求其单位向量。

![图片](/uploads/2025-04/06599d.jpg){width=350px}
 
解：该其模长为
$D=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

所以，单位化后单位向量为

$\vec{e}= (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

## 向量的投影
现在给你一把尺子$e$，如果已知向量和尺子有夹角，则无法使用尺子直接度量， 可以使用尺子度量向量在尺子上的投影，参考系统

![图片](/uploads/2025-04/b5f8bc.jpg){width=300px}
 
 因为**向量平移不改变向量的性质**，所以，可以平移向量$a$,如下图

![图片](/uploads/2025-04/d2f816.jpg)
  
 自	$M$向单位向量做垂线，

$$
\overrightarrow{O M_1}=\lambda e
$$

$\lambda=\left|\overrightarrow{O M_1}\right|=| a | \cos \theta$ ，所以

$$
\overrightarrow{O M_1}=\left|\overrightarrow{O M_1}\right| e =| a | \cos \theta e
$$

即
$$
\overrightarrow{O M_1}=| a | \cos \theta e
$$

$\overrightarrow{O M_1}$ 就是投影的向量

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