最后更新: 2025-04-07 08:06 查看: 251 次反馈同步训练

向量的模长

## 平面向量的长度
在平面上，可以用平面直角坐标系里的点来表示一个向量。
例如下面一个向量$\vec{OA}$，坐标为$(2,3)$ , 根据勾股定理，可以计算得到
其长度为
$|OA|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

一般的，如果平面上两个向量$\boldsymbol{a}=({x_1,y_1})$ 和$\boldsymbol{b}=({x_2,y_2})$， 把这2个向量看成平面上的两个点，那么这两点的距离就是

$D=\sqrt{ (x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 }$

这就是平面上两点之间距离公式。
换句话说，向量的长度可以看乘向量的终点和原点之间的距离。

## 空间向量的长度

我们先来求一个长方体的对角线的长度.
如图 2.1-8(1), 一个长方体的长、宽、高分别为 $a, b, c$.

![图片](/uploads/2024-12/f4c68e.jpg)
 
在 Rt $\triangle A B C$ 中, 由勾股定理可知,

$$
|A C|=\sqrt{a^2+b^2}  
$$

从而在  $Rt \triangle A C C^{\prime}$ 中,

$$
\left|A C^{\prime}\right|=\sqrt{|A C|^2+\left|C C^{\prime}\right|^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \text { (如图 2.1-8(3)). }
$$

于是, 若长方体的长、宽、高分别为 $a, b, c$, 则其对角线长为

$$
d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} .
$$

对于空间任意两点 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 我们以 $A B$ 为对角线在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中作长方体, 且长方体的所有棱分别与坐标轴平行, 如图  .

![图片](/uploads/2024-12/e2589c.jpg)
 
设长方体的三条棱分别为 $A C, C D$ 和 $D B$, 则点 $C$ 的坐标为 $\left(x_1, y_2, z_1\right)$, 点 $D$ 的坐标为 $\left(x_2, y_2, z_1\right)$, 于是有

$$
\begin{aligned}
& |A C|=\left|y_2-y_1\right|,|C D|=\left|x_2-x_1\right|,|D B|=\left|z_2-z_1\right| . \\
& \text { 由 }|A B|=\sqrt{|A C|^2+|C D|^2+|D B|^2} \text { 可得 }
\end{aligned}
$$

$$
|A B|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
$$

这就是空间两点

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