最后更新: 2025-04-07 08:06 查看: 151 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量的模长

## 平面向量的长度
在平面上，可以用平面直角坐标系里的点来表示一个向量。
例如下面一个向量$\vec{OA}$，坐标为$(2,3)$ , 根据勾股定理，可以计算得到
其长度为
$|OA|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

一般的，如果平面上两个向量$\boldsymbol{a}=({x_1,y_1})$ 和$\boldsymbol{b}=({x_2,y_2})$， 把这2个向量看成平面上的两个点，那么这两点的距离就是

$D=\sqrt{ (x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2 }$

这就是平面上两点之间距离公式。
换句话说，向量的长度可以看乘向量的终点和原点之间的距离。

## 空间向量的长度

我们先来求一个长方体的对角线的长度.
如图 2.1-8(1), 一个长方体的长、宽、高分别为 $a, b, c$.

![图片](/uploads/2024-12/f4c68e.jpg)
 
在 Rt $\triangle A B C$ 中, 由勾股定理可知,

$$
|A C|=\sqrt{a^2+b^2}  
$$

从而在  $Rt \triangle A C C^{\prime}$ 中,

$$
\left|A C^{\prime}\right|=\sqrt{|A C|^2+\left|C C^{\prime}\right|^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \text { (如图 2.1-8(3)). }
$$

于是, 若长方体的长、宽、高分别为 $a, b, c$, 则其对角线长为

$$
d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} .
$$

对于空间任意两点 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 我们以 $A B$ 为对角线在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中作长方体, 且长方体的所有棱分别与坐标轴平行, 如图  .

![图片](/uploads/2024-12/e2589c.jpg)
 
设长方体的三条棱分别为 $A C, C D$ 和 $D B$, 则点 $C$ 的坐标为 $\left(x_1, y_2, z_1\right)$, 点 $D$ 的坐标为 $\left(x_2, y_2, z_1\right)$, 于是有

$$
\begin{aligned}
& |A C|=\left|y_2-y_1\right|,|C D|=\left|x_2-x_1\right|,|D B|=\left|z_2-z_1\right| . \\
& \text { 由 }|A B|=\sqrt{|A C|^2+|C D|^2+|D B|^2} \text { 可得 }
\end{aligned}
$$

$$
|A B|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
$$

这就是空间两点间的距离公式.
特别地, 原点 $O$ 到空间中任意一点 $P(x, y, z)$ 的距离为

$$
|O P|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$

## n维空间向量长度
从上面推导过长可以看到，对于n为空间向量 $a=({x_1,x_2,... x_n}) $
他的长度为
$D=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}$

`例`  已知两点 $P(1,0,1)$ 与 $Q(4,3,-1)$.
(1) 求原点 $O$ 到点 $Q$ 的距离 $|O Q|$;
（2）求点 $P, Q$ 之间的距离;
（3）在 $z$ 轴上求一点 $M$ ，使 $|M P|=|M Q|$ 。
解 （1）由原点到空间任一点的距离公式得

$$
|O Q|=\sqrt{4^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{26}
$$

（2）由空间两点间的距离公式得

$$
|P Q|=\sqrt{(4-1)^2+(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{22} .
$$

（3）由于点 $M$ 在 $z$ 轴上，不妨设它的坐标为 $(0,0, z)$ ，则

$$
\begin{gathered}
|M P|^2=1^2+0^2+(1-z)^2=z^2-2 z+2 \\
|M Q|^2=4^2+3^2+(-1-z)^2=z^2+2 z+26
\end{gathered}
$$

又

$$
|M P|=|M Q|,
$$

所以

$$
z^2-2 z+2=z^2+2 z+26
$$

解得

$$
z=-6
$$

因此所求点 $M$ 的坐标为 $M(0,0,-6)$.

`例`  求证：以 $M_1(4,3,1), M_2(7,1,2), M_3(5,2,3)$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形。

证明 因为 $\left|M_1 M_2\right|=\sqrt{(7-4)^2+(1-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{14}$,

$$
\begin{aligned}
& \left|M_1 M_3\right|=\sqrt{(5-4)^2+(2-3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{6}, \\
& \left|M_2 M_3\right|=\sqrt{(5-7)^2+(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{6}
\end{aligned}
$$

所以

$$
\left|M_1 M_3\right|=\left|M_2 M_3\right|
$$

因此 $\triangle M_1 M_2 M_3$ 是等腰三角形。

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