最后更新: 2024-12-30 10:38 ● 参与者查看: 64 次纠错分享参与项目词条搜索

正交分解与坐标表示

在不共线的两个向量中, 垂直是一种重要的情形. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

`例`如图 1.4-3，设 $O(0,0), E_1(1,0), E_2(0$, 1), $P(x, y)$ 是平面直角坐标系中的 4 个点, 且 $e _1=$ $\overrightarrow{O E_1}, e _2=\overrightarrow{O E_2}$. 求 $\overrightarrow{O P}$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标.

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解 $e _1=\overrightarrow{O E_1}, e_2=\overrightarrow{O E_2}$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的单位 向量, 并且相互垂直, 因此不共线, 则 $e_1, e_2$ 组成平面上的一组基.
在 $x$ 轴上取与 $P(x, y)$ 横坐标相同的点 $P_1(x, 0)$, 则 $P_1 P$ 与 $y$ 轴平行或共线.
在 $y$ 轴上取与 $P(x, y)$ 纵坐标相同的点 $P_2(0, y)$ ，则 $P_2 P$ 与 $x$ 轴平行或共线。
因此

$$
\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}
$$

由 $P_1, P_2$ 的坐标可知 $\overrightarrow{O P_1}=x e _1, \overrightarrow{O P_2}=y e _2$,
因此 $\overrightarrow{O P}=x e _1+y e _2$, 即 $\overrightarrow{O P}$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标为 $(x, y)$.

平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基, 记作 $\{ i , j \}$ 。显然 $i =$ $(1,0), j =(0,1)$.

建立平面直角坐标系, 若平面向量 $v$ 的坐标是 $(x, y)$, 我们视其为 $v$ 在 $x$ 轴、 $y$轴正方向上的单位向量 $e _1, e _2$ 组成的基下的坐标, 即 $v =x e _1+y e _2=\overrightarrow{O P}$, 其中点 $P$的坐标为 $(x, y)$ 。

反过来, 在平面上任取一组标准正交基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$, 取定一个原点 $O$, 作 $\overrightarrow{O E_1}= e _1$, $\overrightarrow{O E_2}= e _2$, 以有向直线 $O E_1$ 为 $x$ 轴, $O E_2$ 为 $y$ 轴, $\left|O E_1\right|=\left|O E_2\right|$ 为单位长度, 建立平面直角坐标系，则任意一点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ 就是向量 $\overrightarrow{O P}=x e _1+y e _2$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$下的坐标。

`例`如图 1.4-4, 设单位向量 $e _1, e _2$ 的夹角 $\left\langle e _1, e _2\right\rangle=90^{\circ}$, 非零向量 $v$ 的模 $| v |=r$, 且 $\left\langle e _1, v \right\rangle=\alpha$. 求 $v$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标.
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 解 建立平面直角坐标系，其中 $O$ 是原点， $e _1, e _2$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴的正方向, $e_1, e_2$ 的模为单位长度。

设 $v =\overrightarrow{O P}$ ，则 $v$ 的坐标就是点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ ，且 $|O P|=r, \alpha=\angle x O P$ 。
由角 $\alpha$ 的三角函数的定义可知

$$
\cos \alpha=\frac{x}{r}, \quad \sin \alpha=\frac{y}{r},
$$

从而

$$
x=r \cos \alpha, \quad y=r \sin \alpha
$$

因此

$$
v =\overrightarrow{O P}=(r \cos \alpha, r \sin \alpha)
$$

即 $v$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标为 $(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$.

上例的结论可以作为公式来应用:

设单位向量 $e _1, e _2$ 的夹角 $\left\langle e _1, e _2\right\rangle=90^{\circ}$, 非零向量 $v$ 的模 $| v |=r$ 且 $\left\langle e _1, v \right\rangle=$ $\alpha$, 则

$$
v =(r \cos \alpha, r \sin \alpha) .
$$

`例`  如图 1.4-5, 设 $\{ i , j \}$ 为一组标准正交基, 用这组标准正交基分别表示向量 $a , b , c , d$, 并求出它们的坐标。

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解 由图可知， $a =\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{A A_2}=2 i +2 j$ 。
所以 $a =(2,2)$ 。
同理

$$
\begin{aligned}
& b =-2 i +2 j =(-2,2), \\
& c =-3 i -4 j =(-3,-4), \\
& d =2 i -3 j =(2,-3) .
\end{aligned}
$$

`例` 设 $\{ i , j \}$ 为一组标准正交基, 已知 $\overrightarrow{A B}=3 i -2 j , \overrightarrow{B C}=4 i + j , \overrightarrow{C D}=8 i -$ $9 j$. 若 $\overrightarrow{A D}=4 a$, 求 $a$ 在基 $\{ i , j \}$ 下的坐标。

解

$$
\text { 因为 } \begin{aligned}
\overrightarrow{A D} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D} \\
& =(3 i -2 j )+(4 i + j )+(8 i -9 j ) \\
& =15 i -10 j ,
\end{aligned}
$$

又 $\overrightarrow{A D}=4 a$,
所以 $a =\frac{15}{4} i -\frac{5}{2} j$.
因此 $a$ 在基 $\{ i , j \}$ 下的坐标为 $\left(\frac{15}{4},-\frac{5}{2}\right)$.

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