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正交分解与坐标表示

## 正交分解
把向量 $\vec{a}$ 写成所在平面上两个不平行向量 $\vec{e}_1$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 的线性组合的过程称为 $\vec{a}$ 关于 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 的**分解**．我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在 $\overrightarrow{e_1} \perp \overrightarrow{e_2}$ 情况下进行向量的分解．这种分解称为向量的**正交分解**．

物理中常常将力进行正交分解，就是向量正交分解的一个常见的应用．如图 ，将斜面上物体的重力分解为沿斜面的下滑力和垂直于斜面的正压力。
 ![图片](/uploads/2025-04/4ac107.jpg)

在平面直角坐标系中任意一个向量 $\vec{a}$ 关于 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向上的单位向量 $\vec{i}$ 与 $\vec{j}$ 的分解 $\vec{a}=x \vec{i}+y \vec{j}$ 就是一个正交分解。有序实数对 $(x, y)$ 则称为向量 $\vec{a}$的坐标，并直接表示成

$$
\vec{a}=(x, y) .
$$

向量的这种表示法称为它的**坐标表示**，并可以直接用向量的坐标 $(x, y)$ 代表一个向量。

![图片](/uploads/2025-04/f61ffc.jpg)

## 理解：为什么要进行正交分解
向量运算的最大问题，不支持数的直接加减，两个向量相加需要使用平行四边形法则。考虑一个物体受力情况：其中受到$F_1=6N,F_2=6N$，要计算最终合力的大小不能直接得出$F_合=6+6=12N$， 可见，即使是比较简单的向量加减，做起来都不是一件容易的是，怎么办？
 ![图片](/uploads/2025-11/0c835a.jpg){width=300px}

这时，我们想到了建系，建立直角坐标系，然后把$F_1,F_2$ 分解到各个坐标轴上，而一旦分解后，就可以利用坐标轴来计算合力。

假设$F_1= \sqrt{2}N$,$F_2= 2\sqrt{2}N$，方向为45度角，参考下图，分解后，就可以得到
$$
F_{1x}=1, F_{1y}=1, F_{2x}=2, F_{2y}=2,
$$

所以，$F_合$力的两个分量就是
$$
F_{合x}=2-1=1, F_{合y}=2+1=3,
$$

![图片](/uploads/2025-11/e87a2a.jpg)

由此得到$F_合$的两个分量分别 $(1,3)$ ,进而得到最终合力的大小为
$F= \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$， 方向角正切值为$tan \theta =3 $

总之，把向量分解后，就可以利用**向量的分量直接加减**
如果把上面思路进一步捋顺，大致是

>每个向量往直角坐标系上分解，然后用分量直接加减，最后在把各个分量合成，得到最终的结果向量

已知 $\boldsymbol{a}=\left(x_1, y_1\right), \boldsymbol{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} & =\left(x_1 \boldsymbol{i}+y_1 \boldsymbol{j}\right)+\left(x_2 \boldsymbol{i}+y_2 \boldsymbol{j}\right) \\
& =x_1 \boldsymbol{i}+x_2 \boldsymbol{i}+y_1 \boldsymbol{j}+y_2 \boldsymbol{j} \\
& =\left(x_1+x_2\right) \boldsymbol{i}+\left(y_1+y_2\right) \boldsymbol{j},

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