最后更新: 2025-04-06 07:31 查看: 150 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

正交分解与坐标表示

## 正交分解
把向量 $\vec{a}$ 写成所在平面上两个不平行向量 $\vec{e}_1$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 的线性组合的过程称为 $\vec{a}$ 关于 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 的**分解**．我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在 $\overrightarrow{e_1} \perp \overrightarrow{e_2}$ 情况下进行向量的分解．这种分解称为向量的**正交分解**．

物理中常常将力进行正交分解，就是向量正交分解的一个常见的应用．如图 ，将斜面上物体的重力分解为沿斜面的下滑力和垂直于斜面的正压力。
 ![图片](/uploads/2025-04/4ac107.jpg)

在平面直角坐标系中任意一个向量 $\vec{a}$ 关于 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向上的单位向量 $\vec{i}$ 与 $\vec{j}$ 的分解 $\vec{a}=x \vec{i}+y \vec{j}$ 就是一个正交分解。有序实数对 $(x, y)$ 则称为向量 $\vec{a}$的坐标，并直接表示成

$$
\vec{a}=(x, y) .
$$

向量的这种表示法称为它的**坐标表示**，并可以直接用向量的坐标 $(x, y)$ 代表一个向量。

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## 笛卡尔坐标
在正交分解里，如果去 $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$ ，这样建立的坐标系称作**标准正交基**，也叫做**笛卡尔坐标**。
笛卡尔坐标是最简单适用的坐标系。

`例`如图 1.4-3，设 $O(0,0), E_1(1,0), E_2(0$, 1), $P(x, y)$ 是平面直角坐标系中的 4 个点, 且 $e _1=$ $\overrightarrow{O E_1}, e _2=\overrightarrow{O E_2}$. 求 $\overrightarrow{O P}$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标.

![图片](/uploads/2024-12/4b52bb.jpg)
 
解 $e _1=\overrightarrow{O E_1}, e_2=\overrightarrow{O E_2}$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的单位 向量, 并且相互垂直, 因此不共线, 则 $e_1, e_2$ 组成平面上的一组基.
在 $x$ 轴上取与 $P(x, y)$ 横坐标相同的点 $P_1(x, 0)$, 则 $P_1 P$ 与 $y$ 轴平行或共线.
在 $y$ 轴上取与 $P(x, y)$ 纵坐标相同的点 $P_2(0, y)$ ，则 $P_2 P$ 与 $x$ 轴平行或共线。
因此

$$
\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}
$$

由 $P_1, P_2$ 的坐标可知 $\overrightarrow{O P_1}=x e _1, \overrightarrow{O P_2}=y e _2$,
因此 $\overrightarrow{O P}=x e _1+y e _2$, 即 $\overrightarrow{O P}$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标为 $(x, y)$.

`例`如图 1.4-4, 设单位向量 $e _1, e _2$ 的夹角 $\left\langle e _1, e _2\right\rangle=90^{\circ}$, 非零向量 $v$ 的模 $| v |=r$, 且 $\left\langle e _1, v \right\rangle=\alpha$. 求 $v$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标.
 ![图片](/uploads/2024-12/c30d86.jpg)
 
 解 建立平面直角坐标系，其中 $O$ 是原点， $e _1, e _2$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴的正方向, $e_1, e_2$ 的模为单位长度。

设 $v =\overrightarrow{O P}$ ，则 $v$ 的坐标就是点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ ，且 $|O P|=r, \alpha=\angle x O P$ 。
由角 $\alpha$ 的三角函数的定义可知

$$
\cos \alpha=\frac{x}{r}, \quad \sin \alpha=\frac{y}{r},
$$

从而

$$
x=r \cos \alpha, \quad y=r \sin \alpha
$$

因此

$$
v =\overrightarrow{O P}=(r \cos \alpha, r \sin \alpha)
$$

即 $v$ 在基 $\left\{ e _1, e _2\right\}$ 下的坐标为 $(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$.

上例的结论可以作为公式来应用:

设单位向量 $e _1, e _2$ 的夹角 $\left\langle e _1, e _2\right\rangle=90^{\circ}$, 非零向量 $v$ 的模 $| v |=r$ 且 $\left\langle e _1, v \right\rangle=$ $\alpha$, 则$v$的坐标

$$
v =(r \cos \alpha, r \sin \alpha) .
$$

`例`  如图 1.4-5, 设 $\{ i , j \}$ 为一组标准正交基, 用这组标准正交基分别表示向量 $a , b , c , d$, 并求出它们的坐标。

![图片](/uploads/2024-12/0faffd.jpg)
 
解 由图可知， $a =\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{A A_2}=2 i +2 j$ 。
所以 $a =(2,2)$ 。
同理

$$
\begin{aligned}
& b =-2 i +2 j =(-2,2), \\
& c =-3 i -4 j =(-3,-4), \\
& d =2 i -3 j =(2,-3) .
\end{aligned}
$$

`例` 设 $\{ i , j \}$ 为一组标准正交基, 已知 $\overrightarrow{A B}=3 i -2 j , \overrightarrow{B C}=4 i + j , \overrightarrow{C D}=8 i -$ $9 j$. 若 $\overrightarrow{A D}=4 a$, 求 $a$ 在基 $\{ i , j \}$ 下的坐标。

解：因为

$$
  \begin{aligned}
\overrightarrow{A D} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D} \\
& =(3 i -2 j )+(4 i + j )+(8 i -9 j ) \\
& =15 i -10 j ,
\end{aligned}
$$

又 $\overrightarrow{A D}=4 a$,
所以 $a =\frac{15}{4} i -\frac{5}{2} j$.
因此 $a$ 在基 $\{ i , j \}$ 下的坐标为 $\left(\frac{15}{4},-\frac{5}{2}\right)$.

## 常见问答

问：正交分解，一定要使用$e_1=(1,0)$ 和 $e_2=(0,1)$ 正交基吗？
当然不是了，最简单的，考虑一个标准正交基向量$e_1=(1,0),  e_2=(0,1)$  下的一个向量 $a=(2,2)$， 如果我们选择 $e_3=(2,0),  e_4=(0,2)$ 作为正交基，不难发现，此时$a$的坐标变成了 $(1,1)$
因此，基坐标不同，其向量的坐标也不同。

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