最后更新: 2024-12-30 10:23 ● 参与者查看: 468 次纠错分享参与项目词条搜索

向量的数量积(内积)

本文介绍向量之间的简单运算。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。

在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。 在数学学科，通常也可以翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

> 内也被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} $ ，从外形看他含有一个$\cdot$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} $，从外形看因为含有$\times$ 所以被称为叉积，因为结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。

## 数量积（内积）
已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么:

$$
a \cdot b=|a||b| \cos \theta
$$

就是这两个向量的数量积。
其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影。
![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)

### 数量积的几何意义

如图  将空间任意两个向量 $a , b$ 平移到同一个平面内, 可得 
 ![图片](/uploads/2024-12/e9e3b4.jpg)
 
$\overrightarrow{O A}= a , \overrightarrow{O B}= b ,\langle a , b \rangle=\alpha$. 过点 $B$ 作 $B B_1 \perp O A$, 垂足为点 $B_1$, 则 $\overrightarrow{O B_1}$ 为 $\overrightarrow{O B}$ 在 $\overrightarrow{O A}$ 方向上的投影向量, 投影向量的模 $\left|\overrightarrow{O B_1}\right|=|\overrightarrow{O B}||\cos \alpha|$ 称为**投影长**。

取 $\overrightarrow{O A}$ 方向上的单位向量 $e$ 来度量投影向量 $\overrightarrow{ OB _1}$, 类比平面向量, 可得 $\overrightarrow{O B_1}=(|\overrightarrow{O B}| \cos \alpha) e$, 我们称 $|\overrightarrow{O B}| \cos \alpha$ 为 $\overrightarrow{O B}$ 在 $\overrightarrow{O A}$ 方向上的投影，其正负表示 $\overrightarrow{O B_1}$ 与 $\overrightarrow{O A}$ 方向相同还是相反。
$a$ 与 $b$ 的数量积等于 $a$ 的模 $| a |$ 与 $b$ 在 $a$ 方向上的投影 $| b | \cos \alpha$的乘积，也等于 $b$ 的模 $| b |$ 与 $a$ 在 $b$ 方向上的投影 $| a | \cos \alpha$ 的乘积.

### 数量积的物理意义

内积的物理意义为一个物体在力 $F$ 的作用下，前进 $r$ 距离，其中 $F$ 和 $r$ 的夹角为 $\theta$ ，则功

$W=F r \cos \theta$ 请注意：功是标量。

![](../uploads/2022-10/fd6294.jpg){width=300px}

## 数量积的性质

由数量积的定义可以推得：

1.$\boldsymbol{a}^2 \geq 0$ ；当 $\boldsymbol{a}^2=0$ 时，必有 $\boldsymbol{a}=0$ 。（正定性）
2.$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} . \quad$ （对称性）
3.$(\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\mu \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ ，对任意实数 $\lambda$ ， $\mu$ 成立. (线性)
4.$\cos \angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} /(|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|)$.
5.$|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ ，等号只在 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线时成立.

### 推广
(1) $a \cdot a =| a |^2$ 。

这是因为夹角 $\theta=0$, 所以
$$
a \cdot a=|a|^2 \cos 0=|a|^2
$$

(2) 对于两个非零向量 $a , b$, 如果 $a \cdot b =0$, 那么 $a \perp b$; 反之, 如果 $a \perp b$, 那么 $a \cdot b =0$ 。

这是因为如果 $a \cdot b =0$, 由于 $| a | \neq 0,| b | \neq 0$, 所以 $\cos \theta=0$, 从而 $\theta=\frac{\pi}{2}$, 即 $a \perp b$; 反之, 如果 $a \perp b$, 那么 $\theta=\frac{\pi}{2}, \cos \theta=0$, 于是 $a \cdot b =| a || b | \cos \theta=0$.

由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：
> 向量 $a \perp b$ 的充分必要条件是 $a \cdot b =0$ 。

数量积符合下列运算规律：
（1）交换律 $a \cdot b = b \cdot a$.
证 根据定义有

$$
a \cdot b=|a||b| \cos (\widehat{a, b}), b \cdot a=|b||a| \cos (\widehat{b, a})
$$

而
$$
|a||b|=|b||a| \text { 且 } \cos (a, b)=\cos (b, a) \text {, }
$$

所以

$$
a \cdot b=b \cdot a
$$

(2) 分配律 $(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$.

(3) 数量积还符合如下的结合律:
$(\lambda a) \cdot b=\lambda(a \cdot b), \lambda$ 为数.

`例` 已知 $\boldsymbol{a}=(3,-1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$, 求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$.
解 由题意可知

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(3,-1) \cdot(1,-2)=3 \times 1+(-1) \times(-2)=5, \\
& |\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}, \\
& |\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}}=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} .
\end{aligned}
$$

又因为

$$
\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以 $\langle a, b\rangle=2$

`例` 如图 长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长 $A B=4, A D=2$, $A A_1=2$ 。
 ![图片](/uploads/2024-12/881fea.jpg)
(1) 求 $\left|\overrightarrow{A C}_1\right|$;
(2) 求 $\overrightarrow{A C_1}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 所夹角 $\theta$ 的余弦值.

解 设 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A D}= b , \overrightarrow{A A_1}= c$, 则

$$
\begin{aligned}
& \quad| a |=4, \quad| b |=2, \quad| c |=2, \\
& \overrightarrow{A C}_1=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C}_1= a + b + c , \\
& \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}= b - a .
\end{aligned}
$$

(1) 因为 $\left|\overrightarrow{A C_1}\right|^2=( a + b + c ) \cdot( a + b + c )$

$$
\begin{aligned}
& =( a + b ) \cdot( a + b )+2( a + b ) \cdot c + c \cdot c \\
& = a \cdot a +2 a \cdot b + b \cdot b +2 a \cdot c +2 b \cdot c + c \cdot c \\
& =| a |^2+0+| b |^2+0+0+| c |^2 \\
& =4^2+2^2+2^2=24,
\end{aligned}
$$

所以 $\left|\overrightarrow{A C_1}\right|=2 \sqrt{6}$.
(2) 因为 $|\overrightarrow{B D}|^2$

$$
\begin{aligned}
& =( b - a ) \cdot( b - a ) \\
& =| b |^2-2 b \cdot a +| a |^2 \\
& =4^2+2^2=20,
\end{aligned}
$$

所以 $|\overrightarrow{B D}|=2 \sqrt{5}$.

$$
\text { 因为 } \begin{aligned}
\overrightarrow{A C_1} \cdot \overrightarrow{B D} & =( a + b + c ) \cdot( b - a ) \\
& =| b |^2-| a |^2+ c \cdot b - c \cdot a \\
& =2^2-4^2 \\
& =-12,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 所以 } \overrightarrow{A C_1} \text { 与 } \overrightarrow{B D} \text { 所夹角 } \theta \text { 的余弦值为 }\\
&\cos \theta=\frac{\overrightarrow{A C_1} \cdot \overrightarrow{B D}}{\left|\overrightarrow{A C_1}\right||\overrightarrow{B D}|}=\frac{-12}{2 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{30}}{10} .
\end{aligned}
$$

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