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向量内积(数量积）★★★★★

## 内积的引入
在物理课里学过，一个物体在力 $\boldsymbol{F}$ 的作用下，前进 $\boldsymbol{r}$ 距离，其中 $\boldsymbol{F}$ 和 $\boldsymbol{r}$ 的夹角为 $\theta$ ，则做的功

$W=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{r} \cos \theta$

请注意：功是标量，即他只有大小没有方向。
力$\boldsymbol{F}$和$\boldsymbol{r}$ 都是矢量，但是他们的相乘却是一个标量，从功的定义我们引入向量的内积 $a \cdot b$ 的定义。
![](../uploads/2022-10/fd6294.jpg){width=300px}

## 向量内积(也叫数量积)

> 在介绍本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。两个向量相乘有两个写法： 内积$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和外积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ ,这两个乘法意义完全不同。 由于历史原因，数学学科和物理学科关于内积“inner product”和外积“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种**意译**的办法。 在大学数学学科，通常翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的**直译**。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

> **内积也被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\boldsymbol{\cdot}$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 
外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有$\boldsymbol{\times}$ 所以被称为叉积，又因为他的结果是一个向量，也被称作向量积。**

## 内积的几何意义
**内积的定义**：已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么:

$$
\boldsymbol{a \cdot b}=\boldsymbol{|a||b|} \cos \theta
$$

其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的**投影**。稍后你讲看到，向量支持交换律，因此，你也可以理解为 $|\boldsymbol{b}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影。

$\boldsymbol{a,b}$的内积等于向量$\boldsymbol{a}$的模乘以向量$\boldsymbol{b}$的模，再乘以两个向量夹角的余弦值。

![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg){WIDTH=300PX}

`例` 设 $|\boldsymbol{a}|=12,|\boldsymbol{b}|=9, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-54 \sqrt{2}$ ，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ ．
解：由 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta$ ，得

$$
\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-54 \sqrt{2}}{12 \times 9}=-\frac{\sqrt{2}}{2} .
$$

因为 $\theta \in[0, \pi]$ ，所以 $\theta=\frac{3 \pi}{4}$ ．

`例` 设向量 $a, b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$ ，则 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=$
 
解： 先求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$  
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta
= 1 \times 3 \times \frac12
= \frac{3}{2}.
$$

展开 $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 
$$
(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}
= 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}
= 2 \times \frac{3}{2} + |\vec{b}|^2
= 3 + 3^2
= 3 + 9
= 12.
$$

## 向量投影

因为我们研究的都是**自由向量**，即模长相等，方向相同的向量是同一个向量，所以，在空间里的两个向量，都可以通过平移，让其起点重合在一起，参考下图。这样就可以求得一个向量在另外一个向量上的投影的长度。

![图片](/uploads/2025-11/010fc8.jpg)
 
假设已知向量$\boldsymbol{a,b}$，要计算$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影，参考上图，很明显$\boldsymbol{b}$ 的长度是 
$b=|\boldsymbol{a}| cos \theta$ （这里b是一个数，当$\theta$为钝角时，其值可以为负。）

但是，仅仅知道模长还不行，还需要知道向量的方向，这时候就利用前面介绍的[向量单位化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1853)知识，即
$ \boldsymbol{e}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{b}|} \boldsymbol{b} $

所以，投影的向量
$$
\boxed{
\boldsymbol{c}=|\boldsymbol{a}| cos \theta \cdot \dfrac{1}{|\boldsymbol{b}|} \boldsymbol{b} ...\text{(投影公式)}
}
$$

> 这里读者需要明白，$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影和$\boldsymbol{b}$ 的大小无关，他仅仅是提供了一个方向。

把上面公式取模长，就得到投影后的模长为
$$
\boxed{
|\boldsymbol{c}| = ||\boldsymbol{a}| cos \theta|  ...\text{(投影模长公式)} 
}
$$

其实，把向量内积的定义  $\boldsymbol{a \cdot b}=\boldsymbol{|a||b|} \cos \theta$  稍微移项就可以得到投影模长公式：

$$
\boxed{
|\boldsymbol{a}| cos \theta =\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} ...\text{(投影模长公式)}
}
$$

上面介绍的内容较为抽象，请看下面例题

`例` 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{a}=(1,3), \boldsymbol{b}=(4,1)$ ，则向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影长度和投影向量为多少？

解：可以大致画出其向量图，
 ![图片](/uploads/2025-12/10c10c.jpg){width=300px}
 
 由数量积的计算公式 $ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| cos \theta $

所以，投影就是 $|\boldsymbol{a}| cos \theta =\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$
 
 
 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=4 \times 1+1 \times 3=7,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{4^2+1^2} =\sqrt{17}$,

所以向 量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影数量为 $ \lambda=\frac{\boldsymbol{a} \cdot

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