最后更新: 2025-06-17 11:30 查看: 745 次反馈同步训练

向量内积(数量积）

## 内积的引入
在物理课里学过，一个物体在力 $\boldsymbol{F}$ 的作用下，前进 $\boldsymbol{r}$ 距离，其中 $\boldsymbol{F}$ 和 $\boldsymbol{r}$ 的夹角为 $\theta$ ，则做的功

$W=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{r} \cos \theta$

请注意：功是标量，即他只有大小没有方向。
力$\boldsymbol{F}$和$\boldsymbol{r}$ 都是矢量，但是他们的相乘却是一个标量，从功的定义我们引入向量的内积 $a \cdot b$ 的定义。
![](../uploads/2022-10/fd6294.jpg){width=300px}

## 向量内积(也叫数量积)

> 在介绍本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。两个向量相乘有两个写法： 内积$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和外积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ ,这两个乘法意义完全不同。 由于历史原因，数学学科和物理学科关于内积“inner product”和外积“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种**意译**的办法。 在大学数学学科，通常翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的**直译**。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

> **内积也被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\boldsymbol{\cdot}$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 
外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有$\boldsymbol{\times}$ 所以被称为叉积，又因为他的结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。**

## 内积的几何意义
根据内积的定义，已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么:

$$
\boldsymbol{a \cdot b}=|a||b| \cos \theta
$$

其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的**投影**。

$a$,$b$的内积等于向量$a$得模乘以向量$b$的模，再乘以两个向量夹角的余弦值。

![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)

当然，你也可以理解 $|\boldsymbol{b}| \cos \theta$ 为$\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影。

$a$ 与 $b$ 的内积积等于 $a$ 的模 $| a |$ 与 $b$ 在 $a$ 方向上的投影 $| b | \cos \alpha$的乘积，也等于 $b$ 的模 $| b |$ 与 $a$ 在 $b$ 方向上的投影 $| a | \cos \alpha$ 的乘积.

## 向量内积的两种定义

**定义一**：通常认为，向量内积表示的一个向量在另外一个向量上的投影  ， 这样，两个向量的乘法就变成：
 $a \cdot b =|a| |b| cos \theta ...① $
 
**定义二**：向量的坐标表示法, 详见 [平面向量的坐标表示](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342)
  
 
 $$
 \vec{a}=\{x_1,y_1\}, \vec{b}=\{x_2,y_2\}
 $$
 那么，向量的内积就是
 $a \cdot b = x_1 x_2 +y_1y_2 ...② $
 
 因为，① ②本质相等，所以
 $$
 |a| |b| cos \theta =x_1 x_2 +y_1y_2
 $$
 这种方法，给出了求两个向量夹角的余弦
 
 $$
  cos \theta =  \frac{x_1 x_2 +y_1y_2 }{ |a| |b|}
 $$
 
 进而可以求出两个向量的夹角。
 
 > 这种方法可以推广到N维空间

`例` 已知 $\boldsymbol{a}=(3,-1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$, 求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$.
解 由题意可知

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(3,-1) \cdot(1,-2)=3 \times 1+(-1) \times(-2)=5, \\
& |\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}, \\
& |\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}}=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} .
\end{aligned}
$$

又因为

$$
\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以 两个向量的夹角为 $\langle a, b\rangle= \frac{\pi}{4}$

## 数量积的性质
有内积的定义

$$
\boldsymbol{a \cdot b}=|a||b| \cos \theta
$$
不难得到如下性质

1.$\boldsymbol{a}^2 \geq 0$ ；当 $\boldsymbol{a}^2=0$ 时，必有 $\boldsymbol{a}=0$ 。（正定性）
2.$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} . \quad$ （对称性）
3.$(\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\mu \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ ，  (线性)
4.$\cos \theta= \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$.

5.$|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ ，等号只在 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsy

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