日期: 2023-10-03 11:09 查看: 256 次编辑

内积

## 向量的数乘

向量的数乘指一个数乘以向量，例如
$a+a+a=3a$

## 向量乘除（内积与外积）

&nbsp; &nbsp; 本文介绍向量之间的简单运算。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。

&nbsp; &nbsp; &nbsp;在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。 在数学学科，通常也可以翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

## 内积

内积的概念对于任意维数的向量都适用。已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么:

$$
a \cdot b=|a||b| \cos \theta
$$

就是这两个向量的内积，也叫点积 或数量积。
其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影。
![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)
内积的几何意义即为：内积 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 等于 $\boldsymbol{a}$ 的模与 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影的乘积。可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的 线性运算。在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。
内积的物理意义为一个物体在力 $F$ 的作用下，前进 $r$ 距离，其中 $F$ 和 $r$ 的夹角为 $\theta$ ，则功

$$
W=F r \cos \theta
$$

![](../uploads/2022-10/fd6294.jpg)

## 内积运算有以下应用

判定两向量垂直 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Longleftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$
判定两向量共线

$$
\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b} \Longleftrightarrow|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|
$$

数量积的坐标运算
若 $\boldsymbol{a}=(m, n), \boldsymbol{b}=(p, q)$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=m p+n q$
向量的模

$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{m^2+n^2}
$$

两向量的夹角

$$
\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}
$$

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