最后更新: 2025-04-08 07:41 查看: 619 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量内积(数量级）

## 内积的引入
在物理课里学过，一个物体在力 $\boldsymbol{F}$ 的作用下，前进 $\boldsymbol{r}$ 距离，其中 $\boldsymbol{F}$ 和 $\boldsymbol{r}$ 的夹角为 $\theta$ ，则做的功

$W=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{r} \cos \theta$

请注意：功是标量，即他只有大小没有方向。
力$\boldsymbol{F}$和$\boldsymbol{r}$ 都是矢量，但是他们的相乘却是一个标量，从功的定义我们引入向量的内积 $a \cdot b$ 的定义。
![](../uploads/2022-10/fd6294.jpg){width=300px}

## 向量内积(也叫数量积)

**一、定义**
1. **二维向量**
   • 设$\vec{a}=(a_{1},a_{2})$，$\vec{b}=(b_{1},b_{2})$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$。
2. **三维向量**
   • 对于$\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ 和 $\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$。
3. **一般情况（$n$维向量）**
   • 若$\vec{a}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$，$\vec{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i = 1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$。

> 在介绍本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。两个向量相乘有两个写法： 内积$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和外积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ ,这两个乘法意义完全不同。 由于历史原因，数学学科和物理学科关于内积“inner product”和外积“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种**意译**的办法。 在大学数学学科，通常翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的**直译**。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

> **内积也被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\boldsymbol{\cdot}$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 
外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有$\boldsymbol{\times}$ 所以被称为叉积，又因为他的结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。**

## 内积的几何意义
根据内积的定义，已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么:

$$
\boldsymbol{a \cdot b}=|a||b| \cos \theta
$$

其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的**投影**。

$a$,$b$的内积等于向量$a$得模乘以向量$b$的模，再乘以两个向量夹角的余弦值。

![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)

当然，你也可以理解 $|\boldsymbol{b}| \cos \theta$ 为$\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影。

$a$ 与 $b$ 的内积积等于 $a$ 的模 $| a |$ 与 $b$ 在 $a$ 方向上的投影 $| b | \cos \alpha$的乘积，也等于 $b$ 的模 $| b |$ 与 $a$ 在 $b$ 方向上的投影 $| a | \cos \alpha$ 的乘积.

## 数量积的性质
有内积的定义

$$
\boldsymbol{a \cdot b}=|a||b| \cos \theta
$$
不难得到如下性质

1.$\boldsymbol{a}^2 \geq 0$ ；当 $\boldsymbol{a}^2=0$ 时，必有 $\boldsymbol{a}=0$ 。（正定性）
2.$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} . \quad$ （对称性）
3.$(\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\mu \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ ，  (线性)
4.$\cos \theta= \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$.

5.$|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ ，等号只在 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线时成立.

下面对上面性质进行简单的解释。
(1) $a \cdot a =| a |^2$ 。

这是因为夹角 $\theta=0$, 所以$a \cdot a=|a|^2 \cos 0=|a|^2$

(2) 证明交换律 $a \cdot b = b \cdot a$.
证明 根据定义有

$$
a \cdot b=|a||b| \cos (\widehat{a, b}), b \cdot a=|b||a| \cos (\widehat{b, a})
$$

而
$$
|a||b|=|b||a| \text { 且 } \cos (a, b)=\cos (b, a) \text {, }
$$

所以

$$
a \cdot b=b \cdot a
$$

## 两向量垂直
在两个向量的关系里，向量垂直是极其重要的性质。
根据定义，
当 $ \theta=\frac{\pi}{2}$ 时，$\cos \theta=0$
所以，不论两个向量大小如何，只要垂直，内积就是零。

因此，上述结论可叙述为：

> 向量 $a \perp b$ 的充分必要条件是 $a \cdot b =0$ 。

在向量的坐标表示里，知道$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$ ,所以两个向量垂直，坐标值 $ a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=0 $

向量垂直会在 [向量垂直](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=758) 进行专门解释。

## 两向量平行
当 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$ 时， $\cos \theta= \pm1$
因此，两个向量平行时，这两个向量方向可以相同或者相反。

向量平行会在 [向量平行](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343) 进行专门解释。
## 例题
`例` 已知 $\boldsymbol{a}=(3,-1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$, 求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$.
解 由题意可知

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(3,-1) \cdot(1,-2)=3 \times 1+(-1) \times(-2)=5, \\
& |\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}, \\
& |\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}}=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} .
\end{aligned}
$$

又因为

$$
\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以 $\langle a, b\rangle=2$

`例` 如图 长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长 $A B=4, A D=2$, $A A_1=2$ 。
 ![图片](/uploads/2024-12/881fea.jpg)
(1) 求 $\left|\overrightarrow{A C}_1\right|$;
(2) 求 $\overrightarrow{A C_1}$ 与 $\overrightarrow{B D}$ 所夹角 $\theta$ 的余弦值.

解 设 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A D}= b , \overrightarrow{A A_1}= c$, 则

$$
\begin{aligned}
& \quad| a |=4, \quad| b |=2, \quad| c |=2, \\
& \overrightarrow{A C}_1=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C}_1= a + b + c , \\
& \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}= b - a .
\end{aligned}
$$

(1) 因为 $\left|\overrightarrow{A C_1}\right|^2=( a + b + c ) \cdot( a + b + c )$

$$
\begin{aligned}
& =( a + b ) \cdot( a + b )+2( a + b ) \cdot c + c \cdot c \\
& = a \cdot a +2 a \cdot b + b \cdot b +2 a \cdot c +2 b \cdot c + c \cdot c \\
& =| a |^2+0+| b |^2+0+0+| c |^2 \\
& =4^2+2^2+2^2=24,
\end{aligned}
$$

所以 $\left|\overrightarrow{A C_1}\right|=2 \sqrt{6}$.
(2) 因为 $|\overrightarrow{B D}|^2$

$$
\begin{aligned}
& =( b - a ) \cdot( b - a ) \\
& =| b |^2-2 b \cdot a +| a |^2 \\
& =4^2+2^2=20,
\end{aligned}
$$

所以 $|\overrightarrow{B D}|=2 \sqrt{5}$.

$$
\text { 因为 } \begin{aligned}
\overrightarrow{A C_1} \cdot \overrightarrow{B D} & =( a + b + c ) \cdot( b - a ) \\
& =| b |^2-| a |^2+ c \cdot b - c \cdot a \\
& =2^2-4^2 \\
& =-12,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 所以 } \overrightarrow{A C_1} \text { 与 } \overrightarrow{B D} \text { 所夹角 } \theta \text { 的余弦值为 }\\
&\cos \theta=\frac{\overrightarrow{A C_1} \cdot \overrightarrow{B D}}{\left|\overrightarrow{A C_1}\right||\overrightarrow{B D}|}=\frac{-12}{2 \sqrt{6} \times 2 \sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{30}}{10} .
\end{aligned}
$$

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