最后更新: 2025-12-02 14:46 查看: 243 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量外积(向量积)

## 向量的向量积(外积)
在物理中，学过力矩,当用力$F$ 沿着半径为$r$的轴旋转物体时，我们把$F \times r$ 定义为力矩。 力矩最主要是让物体转动，所以在物理中经常称为“扭矩”。
考虑两个特殊情况：
① 当力$F$与$r$垂直时，扭转力最大。
②当力$F$与$r$平行时，此时不会让刚体扭转。

![图片](/uploads/2025-04/065b67.jpg){width=300px}

> 在介绍本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。两个向量相乘有两个写法： 内积$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和外积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ ,这两个乘法意义完全不同。 由于历史原因，数学学科和物理学科关于内积“inner product”和外积“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种**意译**的办法。 在大学数学学科，通常翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的**直译**。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

> **内积也被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\boldsymbol{\cdot}$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 
外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有$\boldsymbol{\times}$ 所以被称为叉积，又因为他的结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。**

##  向量外积的定义
**定义**：设向量 $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ，向量 $\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$ ，则 $ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 的结果是一个向量，设为$\boldsymbol{c}$,并且满足

① 向量$\boldsymbol{c}$的模长为 $|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| sin \theta$

② 向量$\boldsymbol{c}$的方向满足：$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 所组成的右手法则。

**理解外积的结果**：两个向量的外积，结果是一个向量$\boldsymbol{c}$ , $\boldsymbol{c}$ 的模长为 $|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| sin \theta $, 
$\boldsymbol{c}$ 方向垂直 $\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{b}$ 所张成的平面，且方向符合右手法则。
**右手法则是指**，伸开右手，四指指向$\boldsymbol{a}$的方向、弯曲后指向$\boldsymbol{b}$ 的方向，则大拇指则指向$\boldsymbol{c}$的方向，参考下图：

![图片](/uploads/2025-11/b6f331.jpg){width=400px}

## 向量外积的性质
由向量叉乘的定义易知
（i）$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a}=0$ ；
（ii）$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$ ；
（iii）若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 是两个非零向量，则 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\overrightarrow{0}$ ．

证明：
（i） 因为 $\sin \langle\bol

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【高等数学】数量积(点积)【高等数学】向量积(叉积)【高等数学】向量的混合积

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