最后更新: 2025-04-08 08:01 查看: 199 次反馈同步训练

向量外积(向量积)

## 向量的向量积(外积)
在物理中，学过力矩,当用力$F$ 沿着半径为$r$的轴旋转物体时，我们把$F \times r$ 定义为力矩。 力矩最主要是让物体转动，所以在物理中经常称为“扭矩”。
考虑两个特殊情况：
① 当力$F$与$r$垂直时，扭转力最大。
②当力$F$与$r$平行时，此时不会让刚体扭转。

![图片](/uploads/2025-04/065b67.jpg){width=300px}

> 在介绍本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。两个向量相乘有两个写法： 内积$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和外积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $ ,这两个乘法意义完全不同。 由于历史原因，数学学科和物理学科关于内积“inner product”和外积“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种**意译**的办法。 在大学数学学科，通常翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的**直译**。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。

> **内积也被称作点积，记做 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} $ ，从外形看他含有一个 $\boldsymbol{\cdot}$ ，从结果看他的值为一个“数”，所以被称作数量积。 
外积也被称作叉积，记做  $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} $，从外形看因为含有$\boldsymbol{\times}$ 所以被称为叉积，又因为他的结果是一个向量，也被称作向量积或张量积。**

##  向量外积的定义
设向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和向量 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 是三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中的两个向量，它们的外积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，其定义如下：
• **坐标表示**：
$\vec{a} \times \vec{b}=(a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$
• **行列式表示**：
$$
\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
$$
其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别是 $x$，$y$，$z$ 轴正方向上的单位向量。根据行列式的展开法则，可得到与坐标表示相同的结果。

### 几何意义
• **大小**：向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积的模 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 等于以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边所构成的平行四边形的面积，计算公式为 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间的夹角（$0 \leq \theta \leq \pi$），$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模。
• **方向**：向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所确定的平面，并且 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$ 构成右手系。即当右手的四指从 $\vec{a}$ 以不超过 $\pi$ 的转角转向 $\vec{b}$ 时，竖起的大拇指的指向就是 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。

### 运算性质
• **反交换律**：$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$。这表明交换两个向量的外积顺序，结果向量的方向相反。
• **分配律**：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$。即一个向量与另外两个向量之和的外积，等于这个向量分别与这两个向量的外积之和。
• **与标量乘法的结合律**：$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (k\vec{b})$，其中 $k$ 是一个标量。

## 向量外积的方向

如图 3.37 所示, 已知三个不共面的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, 如果, 我们右手的拇指顺着 $\vec{a}$ 的方向, 食指顺着 $\vec{b}$ 的方向, 若 $\vec{c}$ 能顺着中指的指向, 则把有这样顺序的三个有序的向量组 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 称为构成**右手系**.

如图 3.38 所示, 如果我们左手的拇指顺着 $\vec{a}$ 的方向、食指顺着 $\vec{b}$ 的方向, 若 $\vec{c}$ 能顺着中指的指向, 则把有这样顺序的三个有序的向量组 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 称为构成**左手系**. 显然, 如果 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 构成右手系, 那么把 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 循环轮换所得到的向量组 $(\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}),(\vec{c}, \vec{a}, \vec{b})$ 也是右手系. 如果 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 构成左手系, 任意换两个向量的顺序, 如 $\vec{b}$ 和 $\vec{a}$, 则 $(\vec{b}, \vec{a}, \vec{c})$ 构成左手系。

![图片](/uploads/2024-11/b16720.jpg)
 
 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$, 如果一个向量满足下面三个条件 (图 3.39)
  ![图片](/uploads/2024-11/daed75.jpg)
1.$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle$, 这就是说 $\vec{c}$ 的长度在数量上等于以 $a, b$ 为两相邻边向量的平行四边形的面积；
2.向量 $\vec{c}$ 同时垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$;
3.$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 构成右手系。

那么, 向量 $\vec{c}$ 就叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积, 并且用记号 $\vec{a} \times \vec{b}$ 来表示, 于是

$$
\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}
$$

**向量的向量积结果是一个向量。**

如果把 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的单位向量记为 $\vec{e}$ ，则

$$
\vec{a} \times \vec{b}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle) \cdot \vec{e}
$$

其中: $\vec{e} \cdot \vec{a}=0, \vec{e} \cdot \vec{b}=0, \vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 构成右手系.
由上述定义，我们容易推知

$$
\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{a} / / \vec{b}
$$

> 向量的外积运算最显著的特点之一是它不满足交换律, 
即$\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$

由外积的定义, $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{b} \times \vec{a}$ 它们的长度相等而方向相反, 这就是说

$$
\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}
$$

这种性质通常叫做外积的**斜对称性**.
向量的外积对数乘满足结合律, 对向量加法满足分配律, 即

$$
\begin{gathered}
(\lambda \vec{a}) \times \vec{b}=\vec{a} \times(\lambda \vec{b})=\lambda(\vec{a} \times \vec{b}) \\
(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}
\end{gathered}
$$

现在证明 $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$

![图片](/uploads/2024-11/5d7e99.jpg)
 
 证明: 设 $\vec{c}_0$ 是 $\vec{c}$ 的单位向量 (即与 $\vec{c}$ 方向相同的单位向量), 我们先证明

$$
(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}_0=\vec{a} \times \vec{c}_

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【高等数学】数量积(点积)【高等数学】向量积(叉积)【高等数学】向量的混合积

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