最后更新: 2025-05-21 20:29 查看: 558 次反馈同步训练

平行向量基本定理

## 平行向量基本定理
一般地, 如果非零向量 $a , b$ 方向相同或相反, 则可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示.

因此, 当非零向量 $a , b$ 方向相同或相反时, 我们既称 $a , b$ **共线**, 也称 $a , b$ **平行**, 并且用符号 "//" 来表示它们共线 (或平行), 记作 $a / / b$.

由于零向量的方向是任意的, 可以看成与任何一个向量方向相同, 因此我们规定：**零向量与所有的向量平行**。

由向量平行和向量数乘的定义可以推知：
**两个向量平行 $\Leftrightarrow$ 其中一个向量是另一个向量的实数倍.**
即
$a / / b \Leftrightarrow$ 存在实数 $\lambda$, 使得 $b =\lambda a$ 或 $a =\lambda b$.

根据上述结论, 可以将平面几何中的共线或平行关系用向量的数乘运算来描述:对于线段 $A B$ 与 $C D$, 如果存在实数 $\lambda$, 使得 $\overrightarrow{C D}=\lambda \overrightarrow{A B}$, 则 $A B$ 与 $C D$ 共线或平行.

## 平行向量基本定理

> 如果向量 $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$, 则 $\vec{b} / / \vec{a}$ 的一个充要条件是存在一个唯一的实数 $x$, 使 $\vec{b}=x \vec{a}$.

证明:
1. 必要性: 如果 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{a} \neq \overrightarrow{0}$, 可设 $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}=\mu$,

- 若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向, 则令 $x=\mu$, 可得:

$$
\vec{b}=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \vec{a}=x \vec{a}
$$

- 若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 反向, 则令 $x=-\mu$, 可得:

$$
\vec{b}=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} \vec{a}=x \vec{a}
$$

唯一性, 如果存在两个实数 $x, x^{\prime}$ 使 $\vec{b}=x \vec{a}=x^{\prime} \vec{a}$, 则
$$
\left(x-x^{\prime}\right) \vec{a}=\overrightarrow{0}
$$

但 $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$, 所以 $x-x^{\prime}=0 \quad \Rightarrow \quad x=x^{\prime}$
2. 充分性, 如果存在一实数 $x$, 使 $\vec{b}=x \vec{a}$, 根据向量倍积定义, 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同或方向相反，因此：

$$
\vec{b} / / \vec{a}
$$

## 平行向量基本定理到底想表达什么意思

平行向量基本定理其实就是想表达一个意思：**两个向量在很多情况下是不能互相表示的,只有两个向量方向相同或者相反时，才能互相表示**。

比如下图给了你两个向量$e_1,e_2$ ，因为 $e_1,e_2$ 之间有夹角，所以你任意给一个实数$\lambda$ , $e_1 \neq \lambda e_2$

换句话说，如果    $e_1 =\lambda e_2$ 那就表示 $e_1 // e_2$ ，反之，如果 $e_1 // e_2$ ，就可以写成   $e_1 =\lambda e_2$

![图片](/uploads/2025-04/3d0577.jpg){width=300px}
 
 ### 几个结论
 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 $\overr

其他版本
【高等数学】向量的平行四边形法则与向量的坐标运算

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