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高中数学
第七章 平面向量与空间向量
线性相关与线性无关
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2024-12-30 10:43
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线性相关与线性无关
## 线性相关与线性无关 在平行向量基本定理里，得到两个向量平行的条件。下面有一个推理。 ### 推论 > 两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 平行的充要条件是存在着两个不全为零的实数 $x_1, x_2$ 使 $ x_1 \vec{a}_1+x_2 \vec{a}_2=\overrightarrow{0}$ 证明: 1.必要性: 如果 $\vec{b} / / \vec{a}$, 对于 $\vec{a}=\vec{b}=0$, 结论当然成立, 假定 $\vec{a}, \vec{b}$ 中有一个不是零向量, 不妨设 $\vec{a} \neq 0$, 由平行向量基本定理可知存在唯一的实数 $x_1$,使 $\vec{b}=x_1 \vec{a}$, 取 $x_2=-1$, 则可写成 $$ x_1 \vec{a}+x_2 \vec{b}=\overrightarrow{0} $$ 其中至少 $x_2 \neq 0$ 2.充分性: 如果 $x_1 \vec{a}+x_2 \vec{b}=\overrightarrow{0}$ 且 $x_1, x_2$ 不全为零, 不妨设 $x_2 \neq 0$, 于是可解出 $$ \vec{b}=-\frac{x_1}{x_2} \vec{a} $$ 所以: $\vec{a} / / \vec{b}$. ## 定义 已知两个向量 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$,如果存在着不全为零的两个实数 $x_1, x_2$, 使 $$ x_1 \vec{a}_1+x_2 \vec{a}_2=\overrightarrow{0} $$ 那么我们称 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ **线性相关**. 由上面的推论可推知：两个向量线性相关的充要条件是它们互相平行. 定义 如果 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ 都是非零向量，且方程 $$ x_1 \vec{a}_1+x_2 \vec{a}_2=\overrightarrow{0} $$ 仅当 $x_1=x_2=0$ 时才成立, 我们称向量 $\vec
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