最后更新: 2024-12-30 10:43 查看: 121 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

线性相关与线性无关

## 线性相关与线性无关
在平行向量基本定理里，得到两个向量平行的条件。下面有一个推理。
### 推论
> 两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 平行的充要条件是存在着两个不全为零的实数 $x_1, x_2$ 使
$ x_1 \vec{a}_1+x_2 \vec{a}_2=\overrightarrow{0}$

证明:
1.必要性: 如果 $\vec{b} / / \vec{a}$, 对于 $\vec{a}=\vec{b}=0$, 结论当然成立, 假定 $\vec{a}, \vec{b}$ 中有一个不是零向量, 不妨设 $\vec{a} \neq 0$, 由平行向量基本定理可知存在唯一的实数 $x_1$,使 $\vec{b}=x_1 \vec{a}$, 取 $x_2=-1$, 则可写成

$$
x_1 \vec{a}+x_2 \vec{b}=\overrightarrow{0}
$$

其中至少 $x_2 \neq 0$
2.充分性: 如果 $x_1 \vec{a}+x_2 \vec{b}=\overrightarrow{0}$ 且 $x_1, x_2$ 不全为零, 不妨设 $x_2 \neq 0$, 于是可解出

$$
\vec{b}=-\frac{x_1}{x_2} \vec{a}
$$

所以: $\vec{a} / / \vec{b}$.

## 定义
已知两个向量 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$,如果存在着不全为零的两个实数 $x_1, x_2$, 使

$$
x_1 \vec{a}_1+x_2 \vec{a}_2=\overrightarrow{0}
$$

那么我们称 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ **线性相关**.

由上面的推论可推知：两个向量线性相关的充要条件是它们互相平行.
定义
如果 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ 都是非零向量，且方程

$$
x_1 \vec{a}_1+x_2 \vec{a}_2=\overrightarrow{0}
$$

仅当 $x_1=x_2=0$ 时才成立, 我们称向量 $\vec{a}_1$ 与 $\vec{a}_2$ **线性无关.**
由上面的推论可推知: 两个向量 $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ 线性无关的充要条件是它们不平行.

## 两个向量夹角

两个向量是否共线, 也可从它们的夹角来判断.
如下图 , 设 $a , b$ 是两个非零向量, 任选一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}= a , \overrightarrow{O B}= b$, 则射线 $O A, O B$ 所夹的最小非负角 $\angle A O B=\theta$ 称为**向量 $a, b$ 的夹角**, 记作 $\langle a , b \rangle$, 取值范围规定为 $[0, \pi]$ 。在这个规定下, 两个向量的夹角被唯一确定了, 并有 $\langle a , b \rangle=\langle b , a \rangle$.
 
 ![图片](/uploads/2024-11/656532.jpg)
 
当 $\theta=0$ 时, $a , b$ 方向相同; 当 $\theta=\pi$ 时, $a , b$ 方向相反. 这两种情形下 $a , b$ 所在直线重合, 即 $a , b$ 共线. 当 $0<\theta<\pi$ 时, $a , b$ 所在直线相交于点 $O$, 即 $a , b$ 不共线, 特别地, 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时, $a$ 与 $b$ 垂直, 记作 $a \perp b$.

可以规定零向量 $0$ 与 $a$ 的夹角为 0 , 零向量与任一向量平行, 也可以规定 $0$ 与 $a$的夹角为 $\frac{\pi}{2}$, 零向量与任一向量垂直.

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