最后更新: 2025-02-13 11:59 查看: 299 次反馈同步训练

向量的坐标表示

## 直角坐标系与向量的坐标表示
在初中，我们已学习了平面直角坐标系，其要点如下：
选定一个长度单位，建立两条具有公共原点且互相垂直的数轴（图5.1），通常一条为水平的数轴，称为横轴或$X$轴，它的正向是由左到右，另一条是和它垂直的轴称为纵轴或$Y$轴，它的正向是从下到上．$X$轴、$Y$轴总称为坐标轴、坐标轴的交点$O$称为坐标系的原点，这样我们就说在平面上建立了直角坐标系$OXY$, 这个平面就叫做坐标平面，在坐标平面上任取一点$P$, 过$P$引$X$轴、$Y$轴的垂线，设垂足分别是$M$、$N$, 如果$M$在$X$轴上的坐标为$x$, $N$在$Y$轴上的坐标为$y$, 那么我们就说$P$点的坐标是$(x,y)$, 记作$P(x,y)$, $x$称为横坐标，$y$称为纵坐标．

![图片](/uploads/2024-05/f1d0d5.jpg)
 
 在建立直角坐标系$OXY$的平面上（图5.2），我们沿$X$轴与$Y$轴的正方向分别取单位向量 $\vec{e}_x$、$\vec{e}_y$, 由平面几何定理可知，对坐标平面上任一向量$a$, 存在唯一的有序实数偶 $(a_x,a_y)$使
 
$$
\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y
$$
$\left(a_x, a_y\right)$ 就叫做 $\vec{a}$ 在直角坐标系 $O X Y$ 上的坐标, 记作
$$
\vec{a}=\left(a_x, a_y\right)
$$

其中 $a_x$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $X$ 轴上的坐标分量, $a_y$叫做 $\vec{a}$ 在 $Y$ 轴上的坐标分量.

## 定理
在坐标平面上, 如果 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right)$, 则
$$
\begin{aligned}
a_x & =\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle \\
a_y & =\vec{e}_y \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle
\end{aligned}
$$

证明: 已知 $\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y$, 则
$$
\begin{aligned}
& \vec{e}_x \cdot \vec{a}=\vec{e}_x \cdot\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)=a_x \vec{e}_x \cdot \vec{e}_x+a_y \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y \\
& \vec{e}_y \cdot \vec{a}=\vec{e}_y \cdot\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)=a_x \vec{e}_y \cdot \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y \cdot \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

由于 $\vec{e}_x, \vec{e}_y$ 是单位向量, 且 $\vec{e}_x \perp \vec{e}_y$, 所以,
$$
\vec{e}_x \cdot \vec{e}_x=\vec{e}_y \cdot \vec{e}_y=1, \quad \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y=\vec{e}_y \cdot \vec{e}_x=0
$$

于是得到
$$
\begin{aligned}
& a_x=\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle \\
& a_y=\vec{e}_y \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle
\end{aligned}
$$

这个定理说的是, 向量 $\vec{a}$ 在 $X$ 轴和 $Y$ 轴上的坐标分量分别是 $\vec{a}$ 在坐标轴上的垂直投影量.

显然, $\vec{o}=(0,0), \vec{e}_x=(1,0), \vec{e}_y=(0,1)$. 令 $\left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=\alpha,\left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=\beta, \alpha, \beta$一起决定了 $\vec{a}$ 的方向, $\alpha, \beta$ 叫做 $\vec{a}$ 的方向角, $\cos \alpha, \cos \beta$ 叫做 $\vec{a}$ 的方向余弦,上述定理表达了向量的长度、方向与它的坐标之间的关系, 甚为重要, 请同学要把它牢牢记住.

如果在坐标平面上 (图 5.3 ), 以 $O$ 为起点引 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}$, 则 $A$ 点的位置被 $\vec{a}$所唯一确定, 这时, 我们称 $\overrightarrow{O A}$ 为点 $A$ 的位置向量. 换句话说, $A$ 点的位置
向量也就是确定 $A$ 点相对于原点位置的向量. 设 $\overrightarrow{O P}=x \vec{e}_x+y \vec{e}_y$, 则 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标 $(x, y)$ 也就是 $P$ 点的坐标; 反之, $P$ 点的坐标 $(x, y)$ 也就是位置向量 $\overrightarrow{O P}$的坐标. 由此可见, 给定了原点 $O$ 和两个互相垂直的单位向量 $\vec{e}_x, \vec{e}_y$, 坐标系也就完全确定了, 因而, 坐标系 $O X Y$ 也可用 $\left[O: \vec{e}_x, \vec{e}_y\right]$ 来表示, $\vec{e}_x, \vec{e}_y$ 叫做坐标系的基向量.
 ![图片](/uploads/2024-05/7b064d.jpg)
 
 为了方便, 在本书中我们约定, 当点用大写字母标记时, 它相对于原点的位置向量用相应的小写字母来标记, 例如 $P$ 点的位置向量记为 $\vec{p}, A$ 点的位置向量记为 $\vec{a}$ 等等.

`例` 向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 的方向与绝对值如图 5.4 所示, 求 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 的坐标.
解: 设 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y\right), \vec{c}=\left(c_x, c_y\right)$, 因此:
$$
\begin{aligned}
& a_x=\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=2 \cos 45^{\circ}=\sqrt{2} \\
& a_y=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=2 \cos 45^{\circ}=\sqrt{2} \\
& \therefore \quad \vec{a}=(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\
& b_x=|\vec{b}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{b}\right\rangle=3 \cos \left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)=-3 \cos 60^{\circ}=-\frac{3}{2} \\
& b_y=|\vec{b}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{b}\right\rangle=3 \cos \left(90^{\circ}-60^{\circ}\right)=3 \cos 30^{\circ}=\frac{3}{2} \sqrt{3} \\
& \therefore \quad \vec{b}=\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \sqrt{3}\right) \\
& c_x=|\vec{c}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{c}\right\rangle=4 \cos 30^{\circ}=2 \sqrt{3} \\
& c_y=|\vec{c}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{c}\right\rangle=4 \cos \left(30^{\circ}+90^{\circ}\right)=-4 \sin 30^{\circ}=-2 \\
& \therefore \quad \vec{c}=(2 \sqrt{3},-2) \\
&
\end{aligned}
$$

## 二、用向量坐标进行向量运算
已知向量 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y\right)$, 则
$$
\vec{a}+\vec{b}=\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)+\left(b_x \vec{e}_x+b_y \vec{e}_y\right)=\left(a_x+b_x\right) \vec{e}_x+\left(a_y+b_y\right) \vec{e}_y
$$

即
$$
\vec{a}+\vec{b}=\left(a_x, a_y\right)+\left(b_x, b_y\right)=\left(a_x

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