最后更新: 2025-02-13 11:59 查看: 197 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量的坐标表示

## 直角坐标系与向量的坐标表示
在初中，我们已学习了平面直角坐标系，其要点如下：
选定一个长度单位，建立两条具有公共原点且互相垂直的数轴（图5.1），通常一条为水平的数轴，称为横轴或$X$轴，它的正向是由左到右，另一条是和它垂直的轴称为纵轴或$Y$轴，它的正向是从下到上．$X$轴、$Y$轴总称为坐标轴、坐标轴的交点$O$称为坐标系的原点，这样我们就说在平面上建立了直角坐标系$OXY$, 这个平面就叫做坐标平面，在坐标平面上任取一点$P$, 过$P$引$X$轴、$Y$轴的垂线，设垂足分别是$M$、$N$, 如果$M$在$X$轴上的坐标为$x$, $N$在$Y$轴上的坐标为$y$, 那么我们就说$P$点的坐标是$(x,y)$, 记作$P(x,y)$, $x$称为横坐标，$y$称为纵坐标．

![图片](/uploads/2024-05/f1d0d5.jpg)
 
 在建立直角坐标系$OXY$的平面上（图5.2），我们沿$X$轴与$Y$轴的正方向分别取单位向量 $\vec{e}_x$、$\vec{e}_y$, 由平面几何定理可知，对坐标平面上任一向量$a$, 存在唯一的有序实数偶 $(a_x,a_y)$使
 
$$
\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y
$$
$\left(a_x, a_y\right)$ 就叫做 $\vec{a}$ 在直角坐标系 $O X Y$ 上的坐标, 记作
$$
\vec{a}=\left(a_x, a_y\right)
$$

其中 $a_x$ 叫做 $\vec{a}$ 在 $X$ 轴上的坐标分量, $a_y$叫做 $\vec{a}$ 在 $Y$ 轴上的坐标分量.

## 定理
在坐标平面上, 如果 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right)$, 则
$$
\begin{aligned}
a_x & =\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle \\
a_y & =\vec{e}_y \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle
\end{aligned}
$$

证明: 已知 $\vec{a}=a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y$, 则
$$
\begin{aligned}
& \vec{e}_x \cdot \vec{a}=\vec{e}_x \cdot\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)=a_x \vec{e}_x \cdot \vec{e}_x+a_y \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y \\
& \vec{e}_y \cdot \vec{a}=\vec{e}_y \cdot\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)=a_x \vec{e}_y \cdot \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y \cdot \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

由于 $\vec{e}_x, \vec{e}_y$ 是单位向量, 且 $\vec{e}_x \perp \vec{e}_y$, 所以,
$$
\vec{e}_x \cdot \vec{e}_x=\vec{e}_y \cdot \vec{e}_y=1, \quad \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y=\vec{e}_y \cdot \vec{e}_x=0
$$

于是得到
$$
\begin{aligned}
& a_x=\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle \\
& a_y=\vec{e}_y \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle
\end{aligned}
$$

这个定理说的是, 向量 $\vec{a}$ 在 $X$ 轴和 $Y$ 轴上的坐标分量分别是 $\vec{a}$ 在坐标轴上的垂直投影量.

显然, $\vec{o}=(0,0), \vec{e}_x=(1,0), \vec{e}_y=(0,1)$. 令 $\left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=\alpha,\left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=\beta, \alpha, \beta$一起决定了 $\vec{a}$ 的方向, $\alpha, \beta$ 叫做 $\vec{a}$ 的方向角, $\cos \alpha, \cos \beta$ 叫做 $\vec{a}$ 的方向余弦,上述定理表达了向量的长度、方向与它的坐标之间的关系, 甚为重要, 请同学要把它牢牢记住.

如果在坐标平面上 (图 5.3 ), 以 $O$ 为起点引 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}$, 则 $A$ 点的位置被 $\vec{a}$所唯一确定, 这时, 我们称 $\overrightarrow{O A}$ 为点 $A$ 的位置向量. 换句话说, $A$ 点的位置
向量也就是确定 $A$ 点相对于原点位置的向量. 设 $\overrightarrow{O P}=x \vec{e}_x+y \vec{e}_y$, 则 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标 $(x, y)$ 也就是 $P$ 点的坐标; 反之, $P$ 点的坐标 $(x, y)$ 也就是位置向量 $\overrightarrow{O P}$的坐标. 由此可见, 给定了原点 $O$ 和两个互相垂直的单位向量 $\vec{e}_x, \vec{e}_y$, 坐标系也就完全确定了, 因而, 坐标系 $O X Y$ 也可用 $\left[O: \vec{e}_x, \vec{e}_y\right]$ 来表示, $\vec{e}_x, \vec{e}_y$ 叫做坐标系的基向量.
 ![图片](/uploads/2024-05/7b064d.jpg)
 
 为了方便, 在本书中我们约定, 当点用大写字母标记时, 它相对于原点的位置向量用相应的小写字母来标记, 例如 $P$ 点的位置向量记为 $\vec{p}, A$ 点的位置向量记为 $\vec{a}$ 等等.

`例` 向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 的方向与绝对值如图 5.4 所示, 求 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 的坐标.
解: 设 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y\right), \vec{c}=\left(c_x, c_y\right)$, 因此:
$$
\begin{aligned}
& a_x=\vec{e}_x \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{a}\right\rangle=2 \cos 45^{\circ}=\sqrt{2} \\
& a_y=|\vec{a}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{a}\right\rangle=2 \cos 45^{\circ}=\sqrt{2} \\
& \therefore \quad \vec{a}=(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\
& b_x=|\vec{b}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{b}\right\rangle=3 \cos \left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)=-3 \cos 60^{\circ}=-\frac{3}{2} \\
& b_y=|\vec{b}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{b}\right\rangle=3 \cos \left(90^{\circ}-60^{\circ}\right)=3 \cos 30^{\circ}=\frac{3}{2} \sqrt{3} \\
& \therefore \quad \vec{b}=\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \sqrt{3}\right) \\
& c_x=|\vec{c}| \cos \left\langle\vec{e}_x, \vec{c}\right\rangle=4 \cos 30^{\circ}=2 \sqrt{3} \\
& c_y=|\vec{c}| \cos \left\langle\vec{e}_y, \vec{c}\right\rangle=4 \cos \left(30^{\circ}+90^{\circ}\right)=-4 \sin 30^{\circ}=-2 \\
& \therefore \quad \vec{c}=(2 \sqrt{3},-2) \\
&
\end{aligned}
$$

## 二、用向量坐标进行向量运算
已知向量 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y\right)$, 则
$$
\vec{a}+\vec{b}=\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)+\left(b_x \vec{e}_x+b_y \vec{e}_y\right)=\left(a_x+b_x\right) \vec{e}_x+\left(a_y+b_y\right) \vec{e}_y
$$

即
$$
\vec{a}+\vec{b}=\left(a_x, a_y\right)+\left(b_x, b_y\right)=\left(a_x+b_x, a_y+b_y\right)
$$

同样可证:
$$
\vec{a}-\vec{b}=\left(a_x, a_y\right)-\left(b_x, b_y\right)=\left(a_x-b_x, a_y-b_y\right)
$$

这就是说向量的和与差的坐标等于各向量相应坐标的和与差.
已知 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right)$ 和一实数 $\lambda$, 则
$$
\lambda a=\lambda\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right)=\lambda a_x \vec{e}_x+\lambda a_y \vec{e}_y
$$

即: $\lambda \vec{a}=\lambda\left(a_x, a_y\right)=\left(\lambda a_x, \lambda a_y\right)$.
这就是说向量倍积的坐标等于该向量相应的坐标与倍数的乘积.
已知 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right), \vec{b}=\left(b_x, b_y\right)$, 则
$$
\begin{aligned}
\vec{a} \cdot \vec{b} & =\left(a_x \vec{e}_x+a_y \vec{e}_y\right) \cdot\left(b_x \vec{e}_x+b_y \vec{e}_y\right) \\
& =a_x b_x \vec{e}_x \cdot \vec{e}_x+a_x b_y \vec{e}_y \cdot \vec{e}_x+a_y b_x \vec{e}_y \vec{e}_x+a_y b_y \vec{e}_y \cdot \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

由于 $\vec{e}_x \cdot \vec{e}_x=\vec{e}_y \cdot \vec{e}_y=1, \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y=\vec{e}_y \cdot \vec{e}_x=0$, 所以
$$
\boxed{
\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(a_x, a_y\right) \cdot\left(b_x, b_y\right)=a_x b_x+a_y b_y
}
$$

这就是说两个向量内积的坐标等于两向量相应坐标的乘积的和.

`例`已知 $\vec{a}=(5,-3), \vec{b}=(3,2)$.
求 $\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}, \vec{a} \cdot \vec{b}, 3 \vec{a}+2 \vec{b}$.

解：
$$
\begin{aligned}
\vec{a}+\vec{b} & =(5,-3)+(3,2)=(8,-1) \\
\vec{a}-\vec{b} & =(5,-3)-(3,2)=(2,-5) \\
\vec{a} \cdot \vec{b} & =(5,-3) \cdot(3,2)=5 \times 3+(-3) \times 2=9 \\
3 \vec{a}+2 \vec{b} & =3(5,-3)+2(3,2)=(15,-9)+(6,4)=(21,-5)
\end{aligned}
$$

`例` 已知 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$. 求 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标 (图 5.5).
 ![图片](/uploads/2024-05/63eecb.jpg)
 解:
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} & =\left(x_2, y_2\right)-\left(x_1, y_1\right) \\
& =\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)
\end{aligned}
$$

由上面例子 我们可得到如下运算法则:
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

`例` 已知 $A(3,4), B(-2,7)$. 求 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B A}$; 它们的坐标之间有什么关系?

解:
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(-2-3,7-4)=(-5,3) \\
& \overrightarrow{B A}=(3-(-2), 4-7)=(5,-3) .
\end{aligned}
$$

显然它们的相应的坐标分量是互为相反数. 实际上
$$
\overrightarrow{B A}=(-1) \overrightarrow{A B}=(-1)(-5,3)=(5,-3)
$$

`例` 已知三个向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$, 且 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=r .\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\langle\vec{b}, \vec{c}\rangle=\langle\vec{c}, \vec{a}\rangle=$ $120^{\circ}$ (图 5.6), 求证: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
 ![图片](/uploads/2024-05/947071.jpg)
 证明：设 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$, 以 $\overrightarrow{O A}$ 的方向作为 $X$ 轴的正方向建立坐

标系 $\left[O: \vec{e}_x, \vec{e}_y\right]$ 则
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O A}=(r, 0) \\
& \overrightarrow{O B}=\left(|\vec{b}| \cos 120^{\circ},|\vec{b}| \cos 30^{\circ}\right)=\left(-\frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} r\right) \\
& \overrightarrow{O C}=\left(|\vec{c}| \cos 120^{\circ},|\vec{c}| \cos 150^{\circ}\right)=\left(-\frac{r}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} r\right) \\
& \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=(r, 0)+\left(-\frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} r\right)+\left(-\frac{r}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} r\right) \\
& \therefore \quad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0} .
\end{aligned}
$$

`例` 已知 $\square A B C D, A(0,1) 、 B(4,3) 、 C(2,5)$
求顶点 $D$ 的坐标 (图 5.7).

解：
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A D} & =\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{B C} \\
& =\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B} \\
& =(0,1)+(2,5)-(4,3)=(-2,3)
\end{aligned}
$$

所以 $D$ 的坐标是 $(-2,3)$.

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