最后更新: 2025-04-07 21:10 查看: 377 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量垂直

## 向量垂直

### 定义
在数学与物理学中，对于两个非零向量而言，如果它们的夹角为$90^{\circ}$（弧度制表示为$\frac{\pi}{2}$），则称这两个向量垂直。在向量的研究里，垂直是一种重要的位置关系。

### 表示方法
设向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，可记作$\vec{a}\perp\vec{b}$ 。

## 坐标表示下的判定
• **二维向量**：在平面直角坐标系中，设向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，向量$\vec{b}=(x_2,y_2)$，那么$\vec{a}\perp\vec{b}$的充要条件是它们的数量积为$0$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 = 0$。

两个向量垂直有如下**充要条件**：
$$
\boxed{
  \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}= 0
\Leftrightarrow
a_x \cdot b_x+a_y+b_y=0
}
$$

**证明**：根据向量数量积的定义$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$（其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角），当$\vec{a}\perp\vec{b}$时，$\theta = 90^{\circ}$，$\cos\theta=\cos90^{\circ}=0$，所以$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$；反之，若$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 = 0$，因为$\vec{a}$，$\vec{b}$为非零向量，即$\vert\vec{a}\vert\neq0$，$\vert\vec{b}\vert\neq0$，则$\cos\theta = 0$，又因为$0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ}$，所以$\theta = 90^{\circ}$，即$\vec{a}\perp\vec{b}$。
    ◦ **示例**：已知向量$\vec{a}=(3,4)$，向量$\vec{b}=( - 4,3)$，计算$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times(-4)+4\times3=-12 + 12 = 0$，所以$\vec{a}\perp\vec{b}$。
• **三维向量**：对于空间直角坐标系中的向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$和向量$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，$\vec{a}\perp\vec{b}$的充要条件同样是$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2 = 0$。

## 例题

`例` 已知 $ a=({1,2,3}) $ , $ b=({2,1,k)} $ 向量互相垂直，求 $k$
解：向量垂直，数量积为零。所以 $1*2+2*1+3*k=0$, 解的 $k=-4/3$

`例` 已知 $\vec{a}=(3,2), \vec{b}=(-6,9)$. 求证 $\vec{a} \perp \vec{b}$.
解：因为
$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times(-6)+2 \times 9=-18+18=0
$$

所以 $\vec{a} \perp \vec{b}$.

`例` 已知 $A(1,2), B(2,3), C(-2,5)$. 求证 $\triangle A B C$ 是直角三角形.
解：因为
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} & =(2,3)-(1,2)=(1,1) \\
\overrightarrow{A C} & =(-2,5)-(1,2)=(-3,3) \\
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} & =1 \times(-3)+1 \times 3=0
\end{aligned}
$$

所以 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C}$, 即 $\triangle A B C$ 是直角三角形.

`例`已知 $x_1, ~ x_2, ~ y_1, ~ y_2$ 都是实数，求证：

$$
\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)^2 \leqslant\left(x_1^2+y_1^2\right)\left(x_2^2+y_2^2\right),
$$

并且等式成立的充要条件是 $x_1 y_2=x_2 y_1$ ．
证明 构造向量 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ 。如果其中有零向量，那么结论显然成立，从而只要考虑 $\vec{a}, ~ \vec{b}$ 都是非零向量的情况．把坐标形式的向量夹角公式两边同时平方，整理后可得

$$
\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)^2=\left(x_1^2+y_1^2\right)\left(x_2^2+y_2^2\right) \cos ^2\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle .
$$

因为 $0 \leqslant \cos ^2\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle \leqslant 1$ ，所以

$$
\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)^2 \leqslant\left(x_1^2+y_1^2\right)\left(x_2^2+y_2^2\right)
$$

并且，
等号成立 $\Leftrightarrow \cos ^2\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=1$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \vec{a} / / \vec{b} \\
& \Leftrightarrow x_1 y_2=x_2 y_1
\end{aligned}
$$

> 上式也称作 柯西不等式

`例` 已知 $\vec{a}=\left(a_x, a_y\right)$, 求与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量 $\vec{n}_0$ 的坐标.
 ![图片](/uploads/2025-04/4cd2de.jpg){width=400px}
 
 
分析： 因为单位向量的模为1，所以，可以设置 $\vec{n}_0=(\cos \varphi, \sin \varphi)$

解：设 $\vec{n}_0=(\cos \varphi, \sin \varphi)$, 由于 $\vec{n}_0 \perp \vec{a}$, 所以 
$$
a_x \varphi \alpha+a_y \sin \varphi=0...①
$$
 
 又
 $$
 \sin ^2 \varphi+\cos ^2 \varphi=1 ...②
 $$
 
 
由①② 可解的
$$
\begin{aligned}
& \cos \varphi= \mp \frac{a_y}{|\vec{a}|} \\
& \sin \varphi= \pm \frac{a_x}{|\vec{a}|}
\end{aligned}
$$

于是可得：
$$
\vec{n}_0=\left(-\frac{a_y}{|\vec{a}|}, \frac{a_x}{|\vec{a}|}\right) \text { 或 } \vec{n}_0=\left(\frac{a_y}{|\vec{a}|},-\frac{a_x}{|\vec{a}|}\right)
$$
 
### 总结

在向量垂直判断里，**如果两个向量垂直，则点积为零，如果点积为零，则向量垂直**。 这是一个非常重要的结论。

例如 $\vec{a}=(3,4)$, 则 $\vec{b}_1=(-4,3)$ , 因为  $3 \times -4 + 4 \times 4=0 $ 所以，他们互相垂直。

> **需要注意的是，上面这个结论可以推广到$n$维向量里，例如
$  \vec{a}=(1,1,1),  \vec{b}=(-1,1,0) $ 
因为 $1*(-1) +1*1+1*0=0$ 所以这2个向量互相垂直。**

> **上面这个结论会在 [直线的法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=690) 里大量使用。**

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