最后更新: 2025-04-07 21:29 查看: 282 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量平行

## 向量平行

### 定义
在数学中，对于两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，如果它们的方向相同或者相反，那么就称这两个向量平行，记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$。规定零向量与任意向量平行。

### 坐标表示
设向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，向量 $\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a} \parallel \vec{b}$ 的充要条件有以下两种形式：
• **形式一：存在实数 $\lambda$ 使得 $\vec{a}=\lambda\vec{b}$**
即 $(x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)=(\lambda x_2,\lambda y_2)$，根据向量相等的定义，可得 $\begin{cases}x_1 = \lambda x_2\\y_1 = \lambda y_2\end{cases}$。
当 $x_2\neq0$ 且 $y_2\neq0$ 时，可推出 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\lambda$。
• **形式二：坐标交叉相乘相等**
$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。这是由 $\begin{cases}x_1 = \lambda x_2\\y_1 = \lambda y_2\end{cases}$ 消去 $\lambda$ 得到的，将第一个方程变形为 $\lambda=\frac{x_1}{x_2}$（$x_2\neq0$），第二个方程变形为 $\lambda=\frac{y_1}{y_2}$（$y_2\neq0$），所以 $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$，交叉相乘即得 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 。当 $x_2 = 0$ 或 $y_2 = 0$ 时，该等式同样成立。

**证明**： 根据[两个向量夹角公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1344) 因为
$\vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=0$ 或 $\pi \Leftrightarrow \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle= \pm 1$ ，仍根据向量夹角公式

$$
\begin{aligned}
\vec{a} / / \vec{b} & \Leftrightarrow \frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}}= \pm 1 \\
& \Leftrightarrow\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)^2=\left(x_1^2+y_1^2\right)\left(x_2^2+y_2^2\right) \\
& \Leftrightarrow x_1^2 y_2^2-2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1^2=0 \\
& \Leftrightarrow\left(x_1 y_2-x_2 y_1\right)^2=0 \\
& \Leftrightarrow x_1 y_2=x_2 y_1 .
\end{aligned}
$$

## 几何意义
• 从方向上看，平行向量意味着它们所在的直线要么重合，要么互相平行。
• 在平面几何中，如果两个向量平行，那么可以通过平移其中一个向量，使它们在同一条直线上。

### 通俗解释

> **通俗解释：两个向量平行的一个充分必要条件是它们相应的坐标分量成比例.例如 $\vec{a}=(1,3,4)$ 而 $\vec{b}=(2,6,8)$ 可以看到后者“系数”是前者的$2$倍，所以两向量平行。**

### 推论
如果 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C\left(x_3, y_3\right)$ 是坐标平面上三个不同的点, 那么 $A 、 B 、 C$ 三点共线的一个充要条件是
$$
\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}
$$

证明: 因为
$$
\overrightarrow{A B}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right), \quad \overrightarrow{A C}=\left(x_3-x_1, y_3-y_1\right)
$$

由于 $A 、 B 、 C$ 三点共线的充要条件是 $\overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{A C}$, 所以, 由上述定理便得到
$$
\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}
$$

`例` 已知 $\vec{a}=(3, y), \vec{b}=(6,4)$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$. 求 $y$ 值.
解: 因为 $\vec{a} / / \vec{b}$, 所以
$$
\frac{6}{3}=\frac{4}{y}
$$

解之得 $y=2$.

`例` 已知 $\vec{a}=(3, y,z), \vec{b}=(6,4,2)$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$. 求 $y,z$ 值.
解: 因为 $\vec{a} / / \vec{b}$, 所以
$$
\frac{6}{3}=\frac{4}{y}=\frac{2}{z}
$$

解之得 $y=2$. $z=1$.

`例` 已知 $A(1,1), B(3,5), C(-2,-5)$. 问: $A 、 B 、 C$ 三点是否共线.
解: 因为 $\overrightarrow{A B}=(2,4), \overrightarrow{A C}=(-3,-6)$, 且
$$
\left|\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-3 & -6
\end{array}\right|=-12+12=0
$$

所以 $A 、 B 、 C$ 三点共线.

## 定比分点公式
`例`已知 $P$ 是直线 $P_1 P_2$ 上一点，且 $\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2}(\lambda$ 为实数，且 $\lambda \neq-1), P_1, ~ P_2$ 的坐标分别为 $\left(x_1, y_1\right), ~\left(x_2, y_2\right)$ ．求点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ ．

解 由 $\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2}$ ，可知

$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_1=\lambda\left(x_2-x\right), \\
y-y_1=\lambda\left(y_2-y\right) .
\end{array}\right.
$$

因为 $\lambda \neq-1$ ，故

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \\
y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}
\end{array}\right.
$$

## 中点公式
特别地，在上式中，当 $\lambda=1$ 时，$P$ 为线段 $P_1 P_2$ 的中点，其坐标为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{x_1+x_2}{2} \\
y=\frac{y_1+y_2}{2}
\end{array}\right.
$$

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