最后更新: 2025-04-11 07:43 查看: 8 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

方向向量与法向量

## 方向向量
$O$ 是直线 $l$ 上一点，在直线 $l$ 上取非零向量 $a$ ，则对于直线 $l$ 上任意一点 $P$ ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 $\lambda$ ，使得

$$
\overrightarrow{O P}=\lambda a \text {. }
$$

![图片](/uploads/2025-04/bd623a.jpg){width=300px}

我们把与向量 $a$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的**方向向量** ．这样，直线 $l$ 上任意一点都可以由直线 $l$ 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．

## 法向量

直线 $l \perp \alpha$ ．取直线 $l$ 的方向向量 $a$ ，我们称向量 $a$ 为平面 $\alpha$ 的**法向量** ．给定一个点 $A$ 和一个向量 $a$ ，那么过点 $A$ ，且以向量 $a$ 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 $\{P \mid a \cdot \overrightarrow{A P}=0\}$ ．
 ![图片](/uploads/2025-04/acfa11.jpg){width=300px}
 
 
`例` 如图，在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $A B=4, B C=3, C C_1=2, M$ 是 $A B$ 的中点．以 $D$ 为原点， $D A, D C, D D_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
 ![图片](/uploads/2025-04/8a9805.jpg)
（1）求平面 $B C C_1 B_1$ 的法向量；
（2）求平面 $M C A_1$ 的法向量．
分析：（1）平面 $B C C_1 B_1$ 与 $y$ 轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面 $M C A_1$ 可以看成由 $\overrightarrow{M C}, \overrightarrow{M A_1}, \overrightarrow{C A_1}$ 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．

解：（1）因为 $y$ 轴垂直于平面 $B C C_1 B_1$ ，所以 $n _1=(0,1,0)$ 是平面 $B C C_1 B_1$ 的一个法向量．
（2）因为 $A B=4, B C=3, C C_1=2, M$ 是 $A B$ 的中点，所以 $M, C, A_1$ 的坐标分别为 $(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2)$ ．因此

$$
\overrightarrow{M C}=(-3,2,0), \overrightarrow{M A_1}=(0,-2,2)
$$

设 $n _2=(x, y, z)$ 是平面 $M C A_1$ 的法向量，则

$$
n _2 \perp \overrightarrow{M C}, n _2 \perp \overrightarrow{M A_1}
$$

所以

$$
\left\{\begin{array}{l} 
n _2 \cdot \overrightarrow{M C}=-3 x+2 y=0, \\
n _2 \cdot \overrightarrow{M A_1}=-2 y+2 z=0 .
\end{array}\right.
$$

所以

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{2}{3} z \\
y=z
\end{array}\right.
$$

取 $z=3$ ，则 $x=2, y=3$ ．于是 $n _2=(2,3,3)$ 是平面 $M C A_1$ 的一个法向量．

上一篇：向量平行

下一篇：定比分点公式与中点坐标公式

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)