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高中数学
第七章 平面向量与空间向量
方向向量与法向量
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2025-04-11 07:43
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方向向量与法向量
## 方向向量 $O$ 是直线 $l$ 上一点，在直线 $l$ 上取非零向量 $a$ ，则对于直线 $l$ 上任意一点 $P$ ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 $\lambda$ ，使得 $$ \overrightarrow{O P}=\lambda a \text {. } $$ {width=300px} 我们把与向量 $a$ 平行的非零向量称为直线 $l$ 的**方向向量** ．这样，直线 $l$ 上任意一点都可以由直线 $l$ 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． ## 法向量 直线 $l \perp \alpha$ ．取直线 $l$ 的方向向量 $a$ ，我们称向量 $a$ 为平面 $\alpha$ 的**法向量** ．给定一个点 $A$ 和一个向量 $a$ ，那么过点 $A$ ，且以向量 $a$ 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 $\{P \mid a \cdot \overrightarrow{A P}=0\}$ ． {width=300px} `例` 如图，在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $A B=4, B C=3, C C_1=2, M$ 是 $A B$ 的中点．以 $D$ 为原点， $D A, D C, D D_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．  （1）求平面 $B C C_1 B_1$ 的法向量； （2）求平面 $M C A_1$ 的法向量． 分析：（1）平面 $B C C_1 B_1$ 与 $y$ 轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面 $M C A_1$ 可以看成由 $\overrightarrow{M C}, \overrightarrow
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