最后更新: 2025-04-07 21:27 查看: 225 次反馈刷题

定比分点公式与中点坐标公式

定比分点公式;中点坐标公式

## 定比分点公式

`例`已知 $P$ 是直线 $P_1 P_2$ 上一点，且 $\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2}(\lambda$ 为实数，且 $\lambda \neq-1), P_1, ~ P_2$ 的坐标分别为 $\left(x_1, y_1\right), ~\left(x_2, y_2\right)$ ．求点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ ．

![图片](/uploads/2025-04/dbe0a8.jpg){width=300px}
 
解 在[向量平行](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343) 我们得到一个重要的结论：**两个向量平行，对应坐标系成比例。** ，所以由 $\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2}$ ，可知

$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_1=\lambda\left(x_2-x\right), \\
y-y_1=\lambda\left(y_2-y\right) .
\end{array}\right.
$$

因为 $\lambda \neq-1$ ，故

$$
\boxed{
\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \\
y=\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}
\end{array}\right.
}
$$

上式叫做**定比分点公式**。

## 中点公式
特别地，在上式中，当 $\lambda=1$ 时，$P$ 为线段 $P_1 P_2$ 的中点，其坐标为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{x_1+x_2}{2} \\
y=\dfrac{y_1+y_2}{2}
\end{array}\right.
$$

`例` 已知 $A(2,4), B(4,3), C(-2, x)$ 三点共线, 求 $x$ 的值.
解 因为 $A, B, C$ 三点共线, 所以 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 共线.
而

$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B}=(4-2,3-4)=(2,-1), \\
\overrightarrow{A C}=(-2-2, x-4)=(-4, x-4)
\end{gathered}
$$

所以

$$
2 \times(x-4)-(-1) \times(-4)=0,
$$

整理得

$$
2 x=12,
$$

解得

$$
x=6 \text {. }
$$

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