最后更新: 2024-12-30 11:01 查看: 174 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

中点坐标公式

## 中点坐标公式

如图  已知 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right), P$ 是直线 $P_1 P_2$ 上一点,且 $\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2}(\lambda \in R$, 且 $\lambda \neq-1)$, 求点 $P$ 的坐标.
 ![图片](/uploads/2024-11/405c04.jpg)
 
解 由题意可知，

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{P_1 P}, \\
& \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_2}-\overrightarrow{P P_2} .
\end{aligned}
$$

(1) $+\lambda \times$ (2)得

$$
(1+\lambda) \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{P_1 P}+\lambda \overrightarrow{O P_2}-\lambda \overrightarrow{P P_2}
$$

又已知

$$
\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2},
$$

所以

$$
(1+\lambda) \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_1}+\lambda \overrightarrow{O P_2},
$$

从而

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P} & =\frac{\overrightarrow{O P_1}+\lambda \overrightarrow{O P_2}}{1+\lambda} \\
& =\frac{\left(x_1, y_1\right)+\lambda\left(x_2, y_2\right)}{1+\lambda} \\
& =\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)
\end{aligned}
$$

因此, 点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$.
特别地, 当 $\lambda=1$ 时得到线段 $P_1 P_2$ 的**中点坐标公式** $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

向量 $\overrightarrow{A B}=\left(x_1, y_1\right), \overrightarrow{C D}=\left(x_2, y_2\right)$ 平行 (也就是共线)，可以直接用 $\left(x_1, y_1\right) / /$ $\left(x_2, y_2\right)$ 来表示。这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍, 因此 $x_1 y_2=y_1 x_2$成立. 即

$$
\left(x_1, y_1\right) / /\left(x_2, y_2\right) \Leftrightarrow x_1 y_2-y_1 x_2=0 .
$$

`例` 已知 $A(2,4), B(4,3), C(-2, x)$ 三点共线, 求 $x$ 的值.
解 因为 $A, B, C$ 三点共线, 所以 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 共线.
而

$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B}=(4-2,3-4)=(2,-1), \\
\overrightarrow{A C}=(-2-2, x-4)=(-4, x-4)
\end{gathered}
$$

所以

$$
2 \times(x-4)-(-1) \times(-4)=0,
$$

整理得

$$
2 x=12,
$$

解得

$$
x=6 \text {. }
$$

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