最后更新: 2025-04-20 09:12 查看: 172 次纠错评论(0) 课件开VIP

强化训练：图像法在追及相遇问题中的应用

## 像法在追及相遇问题中的应用
$1 . x-t$ 图像、 $v-t$ 图像中的追及相遇问题:
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
（2）有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2.利用 $v-r$ 图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出 $v-t$ 图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3. 若为 $x$ - $t$ 图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为 $a$
$-t$ 图像，可转化为 $v-$ 图像进行分析.

`例`如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点.关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是
A.若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B.若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车 间的距离最小
C.若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小
D.若是v－t图像，则两车间的距离不断增大
 ![图片](/uploads/2025-04/caba84.jpg)
 
 解：D。 若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；
若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确.

`例`甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 $v-t$ 图像如图所示.已知两车在 $t=3 s$ 时并排行驶，则
A.在 $t=1 s$ 时，甲车在乙车后
B. 在 $t=0$ 时，甲车在乙车前方 7.5 m 处
C. 两车另一次并排行驶的时刻是 $t=2 s$
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为 40 m
 ![图片](/uploads/2024-12/0d5e1c.jpg)
 
 解：根据 $v-t$ 图像知，甲、乙两车都沿正方向运动. $t$ $=3 s$ 时，甲、乙两车并排行驶，此时 $v_{\text {甲 }}=30 m / s$ ， $v_乙=25 m / s$ ，由 $v-t$ 图线与时间轴所围 "面积"表示位移知， $0 \sim 3 s$ 内甲车位移 $x_{\text {甲 }}=\frac{1}{2} \times 3 \times 30 m$ $=45 m$ ，乙车位移 $x_乙=\frac{1}{2} \times 3 \times(10+25) m =52.5 m$ ，故 $t=0$ 时，甲、乙两车相距 $\Delta x_1=x_{\text {乙 }}-x_{\text {甲 }}=7.5 m$ ，即甲车在乙车前方 7.5 m 处，选项B正确；
 $$
\begin{aligned}
& 0 \sim 1 s \text { 内， } x_{\text {甲 }}{ }^{\prime}=\frac{1}{2} \times 1 \times 10 m=5 m, x_{\text {乙 }^{\prime}}=\frac{1}{2} \\
& 1 \times(10+15) m=12.5 m, \Delta x_2=x_{乙^{\prime}}^{\prime}-x_{\text {甲 }}{ }^{\prime}=7.5 m
\end{aligned}
$$

$=\Delta x_1$ ，说明在 $t=1 s$ 时甲、乙两车第一次并排行
驶，选项A、C错误；
甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为 $x=x_{\text {甲 }}-x_{\text {甲 }}{ }^{\prime}=45 m$ $-5 m=40 m$ ，选项D正确.

`例` 足球比赛中，经常使用 "边路突破，下底传中"的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长 105 m ，宽 68 m 。攻方前锋在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为 $12 m / s$ 的匀减速直线运动，加速度大小为 $2 m / s ^2$ ，试求：
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球.他的启动过程可以视为初速度为零、加速度为 $2 m / s ^2$ 的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为 $8 m / s$ ，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球.
 ![图片](/uploads/2024-12/11cc9c.jpg)
 
解：（1）依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得 $v_1=a_1 t_1$ ，代入数据得 $t_1=6 s$ ，根据 $x_1=\frac{v_1}{2} t_1$, 代入数据得 $x_1=36 m$.

(2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为 $t_2=\frac{v_2}{a_2}=4 s, x_2=\frac{v_2}{2} t_2=16 m$ ，之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为 $x_3=v_2\left(t_1-t_2\right)=16 m$ ，由于 $x_2+x_3<x_1$ ，故足球停止运动时，前锋队员没有追上足球，然后前锋队员继续以最大速度匀速运动追赶足球，根据 $x_1-\left(x_2+x_3\right)=v_2 t_3$ ，解得 $t_3=0.5 s$ ，故前锋队员追上足球的时间为 $t=t_1+t_3=6.5 s$.

`例`货车 $A$ 正在该公路上以 $20 m / s$ 的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车 $B$ 时，两车距离仅有 64 m . (1)若此时 $B$ 车立即以 $2 m / s ^2$ 的加速度启动，通过计算判断：如果 $A$ 车司机没有刹车，是否会撞上 $B$ 车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从 $A$ 车发现 $B$ 车开始到撞上 $B$ 车的时间；

(2)若 $A$ 车司机发现 $B$ 车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为 $2 m / s ^2$ (两车均视为质点)，为避免碰撞，在 $A$ 车刹车的同时， $B$车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问： $B$ 车加速度 $a_2$ 至少多大才能避免事故发生.(这段公路很窄，无法靠边让道)

解：（1）当两车速度相同时, 所用时间为 $t_0=\frac{v_A}{a}=10 s$, 在此 10 s 内 $A$ 车的位移为 $x_A=v_A t_0=20 \times 10 m=200 m$,
$B$ 车的位移为 $x_B=\frac{1}{2} a t_0{ }^2=\frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 m=100 m$, 此时 $A 、 B$ 两车间的位移差为 $\Delta x=x_A-x_B=100 m>64 m$, 所以两车必定相撞; 设两车相撞的时间为 $t$, 则相撞时有 $v_A t-\frac{1}{2} a t^2=64 m$, 代入数据解得 $t=4 s$ (另一值不合题意舍去)
所以 $A$ 车撞上 $B$ 车的时间为 4 s ；

（2）已知 $A$ 车的加速度 $a_A=-2 m / s ^2$, 初速度 $v_A=20 m / s ; B$ 车的加速度为 $a_2$, 设 $B$ 车运动经过时间为 $t^{\prime}$ 时, 两车相遇, 则有 $v_A t^{\prime}+\frac{1}{2} a_A t^{\prime}{ }^2$ $=\frac{1}{2} a_2 t^{\prime 2}+L$, 代入数据有 $\left(1+\frac{a_2}{2}\right) t^{\prime}{ }^2-20 t^{\prime}+64=0$, 要避免相撞,则上式无实数解，根据数学关系知 $a_2>1.125 m / s ^2$ ，所以 $B$ 的加速度的最小值为 $1.125 m / s ^2$.

`例`假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶.甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示.取运动方向为正方向.下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2025-04/a4fa7e.jpg)
A.t＝3 s时两车相距最近
B.t＝6 s时两车速度不相等
C.t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D.两车在0～9 s内会相撞

解：由题给图像画出两车的 $v-t$ 图像如图所示，由图像可知，$t=6 s$ 时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示 $0 \sim 6 s$ 内两车位移之差，即 $\Delta x=\left[\frac{1}{2} \times 30 \times 3+\frac{1}{2} \times 30 \times(6-3)\right] m =90 m<x_0=100 m$ ，即两车在 $t=6 s$ 时距离最近，最近距离为 $x_0-\Delta x=10 m$ ，故 $A , ~ B$ 错误， C正确；
$t=6 s$ 时，两车相距 10 m ，且甲车在前，乙车
在后，在 $6 \sim 9 s$ 内，甲车速度大于乙车速度，
两车间距离越来越大，故在 $0 \sim 9 s$ 内，甲车一
直在前，两车不会相撞，故 D 错误．
 ![图片](/uploads/2025-04/5ed5a4.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：强化训练：追及相遇问题

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)