最后更新: 2024-12-11 09:28 ● 参与者查看: 57 次纠错分享参与项目词条搜索

图像法在追及相遇问题中的应用

$1 . x-t$ 图像、 $v-t$ 图像中的追及相遇问题:
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.
（2）有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2.利用 $v-r$ 图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出 $v-t$ 图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3. 若为 $x$ - $t$ 图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为 $a$
$-t$ 图像，可转化为 $v-$ 图像进行分析.

`例`甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 $v-t$ 图像如图所示.已知两车在 $t=3 s$ 时并排行驶，则
A.在 $t=1 s$ 时，甲车在乙车后
B. 在 $t=0$ 时，甲车在乙车前方 7.5 m 处
C. 两车另一次并排行驶的时刻是 $t=2 s$
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为 40 m
 ![图片](/uploads/2024-12/0d5e1c.jpg)
 
 解：根据 $v-t$ 图像知，甲、乙两车都沿正方向运动. $t$ $=3 s$ 时，甲、乙两车并排行驶，此时 $v_{\text {甲 }}=30 m / s$ ， $v_乙=25 m / s$ ，由 $v-t$ 图线与时间轴所围 "面积"表示位移知， $0 \sim 3 s$ 内甲车位移 $x_{\text {甲 }}=\frac{1}{2} \times 3 \times 30 m$ $=45 m$ ，乙车位移 $x_乙=\frac{1}{2} \times 3 \times(10+25) m =52.5 m$ ，故 $t=0$ 时，甲、乙两车相距 $\Delta x_1=x_{\text {乙 }}-x_{\text {甲 }}=7.5 m$ ，即甲车在乙车前方 7.5 m 处，选项B正确；
 $$
\begin{aligned}
& 0 \sim 1 s \text { 内， } x_{\text {甲 }}{ }^{\prime}=\frac{1}{2} \times 1 \times 10 m=5 m, x_{\text {乙 }^{\prime}}=\frac{1}{2} \\
& 1 \times(10+15) m=12.5 m, \Delta x_2=x_{乙^{\prime}}^{\prime}-x_{\text {甲 }}{ }^{\prime}=7.5 m
\end{aligned}
$$

$=\Delta x_1$ ，说明在 $t=1 s$ 时甲、乙两车第一次并排行
驶，选项A、C错误；
甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为 $x=x_{\text {甲 }}-x_{\text {甲 }}{ }^{\prime}=45 m$ $-5 m=40 m$ ，选项D正确.

`例` 足球比赛中，经常使用 "边路突破，下底传中"的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长 105 m ，宽 68 m 。攻方前锋在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为 $12 m / s$ 的匀减速直线运动，加速度大小为 $2 m / s ^2$ ，试求：
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球.他的启动过程可以视为初速度为零、加速度为 $2 m / s ^2$ 的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为 $8 m / s$ ，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球.
 ![图片](/uploads/2024-12/11cc9c.jpg)
 
解：（1）依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得 $v_1=a_1 t_1$ ，代入数据得 $t_1=6 s$ ，根据 $x_1=\frac{v_1}{2} t_1$, 代入数据得 $x_1=36 m$.

(2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为 $t_2=\frac{v_2}{a_2}=4 s, x_2=\frac{v_2}{2} t_2=16 m$ ，之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为 $x_3=v_2\left(t_1-t_2\right)=16 m$ ，由于 $x_2+x_3<x_1$ ，故足球停止运动时，前锋队员没有追上足球，然后前锋队员继续以最大速度匀速运动追赶足球，根据 $x_1-\left(x_2+x_3\right)=v_2 t_3$ ，解得 $t_3=0.5 s$ ，故前锋队员追上足球的时间为 $t=t_1+t_3=6.5 s$.

`例`货车 $A$ 正在该公路上以 $20 m / s$ 的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车 $B$ 时，两车距离仅有 64 m . (1)若此时 $B$ 车立即以 $2 m / s ^2$ 的加速度启动，通过计算判断：如果 $A$ 车司机没有刹车，是否会撞上 $B$ 车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从 $A$ 车发现 $B$ 车开始到撞上 $B$ 车的时间；

(2)若 $A$ 车司机发现 $B$ 车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为 $2 m / s ^2$ (两车均视为质点)，为避免碰撞，在 $A$ 车刹车的同时， $B$车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问： $B$ 车加速度 $a_2$ 至少多大才能避免事故发生.(这段公路很窄，无法靠边让道)

解：（1）当两车速度相同时, 所用时间为 $t_0=\frac{v_A}{a}=10 s$, 在此 10 s 内 $A$ 车的位移为 $x_A=v_A t_0=20 \times 10 m=200 m$,
$B$ 车的位移为 $x_B=\frac{1}{2} a t_0{ }^2=\frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 m=100 m$, 此时 $A 、 B$ 两车间的位移差为 $\Delta x=x_A-x_B=100 m>64 m$, 所以两车必定相撞; 设两车相撞的时间为 $t$, 则相撞时有 $v_A t-\frac{1}{2} a t^2=64 m$, 代入数据解得 $t=4 s$ (另一值不合题意舍去)
所以 $A$ 车撞上 $B$ 车的时间为 4 s ；

（2）已知 $A$ 车的加速度 $a_A=-2 m / s ^2$, 初速度 $v_A=20 m / s ; B$ 车的加速度为 $a_2$, 设 $B$ 车运动经过时间为 $t^{\prime}$ 时, 两车相遇, 则有 $v_A t^{\prime}+\frac{1}{2} a_A t^{\prime}{ }^2$ $=\frac{1}{2} a_2 t^{\prime 2}+L$, 代入数据有 $\left(1+\frac{a_2}{2}\right) t^{\prime}{ }^2-20 t^{\prime}+64=0$, 要避免相撞,则上式无实数解，根据数学关系知 $a_2>1.125 m / s ^2$ ，所以 $B$ 的加速度的最小值为 $1.125 m / s ^2$.

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