最后更新: 2025-04-20 09:09 查看: 278 次纠错评论(0) 课件开VIP

强化训练：追及相遇问题

## 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置.追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例.
 ![图片](/uploads/2024-12/9162d1.jpg)
 
 1.二者距离变化与速度大小的关系

(1)无论 $v_{\text {甲 }}$ 增大、减小或不变，只要 $v_{\text {甲 }}<v_{\text {乙， }}$ ，乙、的距离就不断增大
(2) 若 $v_{\text {甲 }}=v_{\text {乙， }}$ ，甲乙、的距离保持不变.
(3)无论 $v_{\text {甲 }}$ 增大、减小或不变，只要 $v_{\text {甲 }}>v_{\text {乙 }}$ ，甲、乙的距离就不断减小.

2.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.

3.常用分析方法
（1）物理分析法：抓住"两物体能否同时到达空间某位置"这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.
(2)二次函数法：设运动时间为 $t$ ，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离 $\Delta x$ 与时间 $t$ 的二次函数关系， $\Delta x=0$ 时，表示两者相遇。
(1)若 $\Delta>0$ ，即有两个解，说明可以相遇两次；
(2)若 $\Delta=0$ ，一个解，说明刚好追上或相遇；
(3)若 $\Delta<0$ ，无解，说明追不上或不能相遇.

当 $t=-\frac{b}{2 a}$ 时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值.

(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像.位移 - 时间图像的交点表示相遇，分析速度 - 时间图像时，应抓住速度相等时的"面积"关系找位移关系。
4. 常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大.
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值。
物体 $B$ 追赶物体 $A$ : 开始时，两个物体相距 $x_0$ ，当 $v_B=v_A$ 时，若 $x_B>x_A+x_0$ ，则能追上；若 $x_B=x_A+x_0$ ，则恰好追上；若 $x_B<x_A+x_0$ ，则不能追上.

> **特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.**

`例`一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 $a=3 m / s ^2$ 的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以 $6 m / s$ 的速度匀速驶过，从后边超过汽车，则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远? 此时两车的距离是多少?

解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为 $t$ ，两车间的距离为 $\Delta x$ ，则有 $v=a t$
所以 $t=\frac{v}{a}=2 s, \Delta x=v t-\frac{1}{2} a t^2=6 m$.
解法二（二次函数法）：设汽车在追上自行车之前经过时间 $t$ 两车相距最远, 则 $\Delta x=v t-\frac{1}{2} a t^2$
代入已知数据得 $\Delta x=6 t-\frac{3}{2} 2^2$
由二次函数求极值的条件知： $t=2 s$ 时， $\Delta x$ 有最大值为 6 m所以 $t=2 s$ 时两车相距最远，为 6 m .

解法三(图像法)：自行车和汽车的 $v-t$ 图像如图所示，由图可以看出，在相遇前， $t_1$ 时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积， $v_1=6 m / s$
所以有 $t_1=\frac{v_1}{a}=\frac{6}{3} s=2 s$,

$$
\Delta x=\frac{v_1 t_1}{2}=\frac{6 \times 2}{2} m=6 m .
$$

![图片](/uploads/2024-12/1d25cf.jpg)
 
 
`例` 汽车 $A$ 以 $v_d=4 m / s$ 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距 $x_0=$ 7 m 处，有以 $v_B=10 m / s$ 的速度同向运动的汽车 $B$ 正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小 $a=2 m / s ^2$.从刚刹车开始计时.求:
(1) $A$ 追上 $B$ 前， $A 、 B$ 间的最远距离;
(2)经过多长时间A恰好追上B.

解：（1）汽车 $A$ 和 $B$ 的运动过程如图所示.当 $A 、 B$ 两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即 $v_{\underline{B}}-a t=v_A$ ，解得 $t=3 s$
此时汽车 $A$ 的位移 $x_d=v_d t=12 m$汽车 $B$ 的位移 $x_B=v_B t-\frac{1}{2} a t^2=21 m$故最远距离 $\Delta x_{\text {max }}=x_B+x_0-x_d=16 m$.
 ![图片](/uploads/2024-12/1f68ed.jpg)
 
 
（2） 汽车 $B$ 从开始减速直到静止经历的时间 $t_1=\frac{v_B}{a}=5 s$
运动的位移 $x_B{ }^{\prime}=\frac{v_B{ }^2}{2 a}=25 m$
汽车 $A$ 在 $t_1$ 时间内运动的位移

$$
x_A{ }^{\prime}=v_A t_1=20 m
$$

此时相距 $\Delta x=x_B{ }^{\prime}+x_0-x_A{ }^{\prime}=12 m$汽车 $A$ 需再运动的时间 $t_2=\frac{\Delta x}{v_A}=3 s$故 $A$ 追上 $B$ 所用时间 $t_{\text {总 }}=t_1+t_2=8 s$.

[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式 $v_{B^{\prime}} t-\frac{1}{2} a t^2+x_0=v_A t$ ，解得经过 $t=7 s$ (另一解舍去)时 $A$ 恰好追上 $B$. 这个结果合理吗? 为什么?

解析
这个结果不合理，因为汽车 $B$ 运动的时间最长为 $t=\frac{v_B}{a}=5 s<7 s$ ，说明汽车 $A$ 追上 $B$ 时汽车 $B$ 已停止运动。

[拓展] (2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
解析
由位移时间关系公式有：$v_B t-\frac{1}{2} a t^2=x_0+v_A t$ ，解得 $t_1=(3-\sqrt{2}) s , t_2=$ $(3+\sqrt{2}) s$ ．

`例` 在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道.如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响.
 ![图片](/uploads/2025-04/63763e.jpg)
 
 (1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞.
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车.

解：（1）$A$ 车减速到与 $B$ 车同速时，若恰末与 $B$ 车相碰，则 $A$ 车将不会与 $B$ 车相碰，设经历的时间为 $t$ ，则 $A$ 车位移 $x_A=\frac{v_A+v_B}{2}{ }_t$
（1）
$B$ 车位移 $x_B=v_B t$

$$
x_A-x_B=s_0
$$

由（1）（2）（3）式联立解得 $t=\frac{8}{3} s$
则 $A$ 车与 $B$ 车不相碰，刹车时的最小加速度

$$
a_{\min }=\frac{v_A-v_B}{t}=\frac{7-4}{\frac{8}{3}} m / s^2=\frac{9}{8} m / s^2 .
$$

（2）设 $A$ 车加速 $t^{\prime}$ 时间后车尾到达 $B$ 车车头，则 $s_0+2 L=v_A t^{\prime}+\frac{1}{2} a t^{\prime}{ }^2-$ $v_B t^{\prime}$ ，解得 $t^{\prime}=2 s$
在此时间内，$A$ 车向前运动了 $x_{A 1}=v_A t^{\prime}+\frac{1}{2} a t^{\prime} 2$
计算可得 $x_{A 1}=20 m>s=16 m$ ，说明在离并道对接口 16 m 的距离上以 $3 m / s ^2$ 的加速度加速不能实现安全超车．

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