最后更新: 2024-12-11 15:19 ● 参与者查看: 84 次纠错分享参与项目词条搜索

共点力的平衡条件及应用

1.共点力的平衡
(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动.
(2)平衡条件: $F_{\text {合 }}=\underline{0}$ 或 $F_x=\underline{0}, F_v=\underline{0}$.
(3) 常用推论
①若物体受 $n$ 个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余 $(n-1)$个力的合力大小相等、方向相反。
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个 封闭三角形.

2.处理共点力平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论.

求解共点力平衡问题的常用方法:
1.合成法: 一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡
2.正交分解法： $E_x$ 合 $=0, F_2$ 合 $=0$ ，常用于多力平衡.
3.矢量三角形法: 把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形.

`例`如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上 $O$ 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.系统平衡时， $O$ 点两侧
绳与坚直方向的夹角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$.若 $\alpha=70^{\circ}$ ，则 $\beta$ 等于
A. $45^{\circ}$
B. $55^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $70^{\circ}$
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 解：取 $O$ 点为研究对象， $O$ 点在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所示， $F_{ T 1}=F_{ T 2}$ ，两力的合力与 $F$ 等大反向，根据几何关系可得 $2 \beta+\alpha$ $=180^{\circ}$ ，所以 $\beta=55^{\circ}$ ，故选B.
 
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 `例` 如图所示的装置，杆QO沿坚直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆 $O P$ 用铰链固定于 $O$ 点且可绕 $O$ 点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为 $m_1 、 m_2$ 的小球并系于 $P$ 点，其中拴接 $m_1$ 小球的轻绳跨过定滑轮，已知 $O$点到滑轮顶端 $Q$ 的距离等于 $O P$ ，当系统平衡时两杆的夹角为 $\alpha=120^{\circ}$ ，则 $m_1: m_2$ 为
A. $1: 2$
B. $\sqrt{3}: 2$
C. $1: 1$
D. $\sqrt{3}: 1$
 
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 解：以结点 $P$ 为研究对象，受力分析如图所示，则拴接小球 $m_1$ 轻绳的拉力大小等于 $m_1 g$ ，由力的平衡条件将杆 $O P$ 的支持力与轻绳的拉力合成，可得 $m_1 g=$ $2 m_2 g \cos 30^{\circ}$ ，解得 $m_1: m_2=\sqrt{3} 1$ ，故A、B、C错误，D正确.
 
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 `例`如图，一物块在水平拉力 $F$ 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动. 若保持 $F$的大小不变，而将方向变成与水平面成 $60^{\circ}$ 角，物块也恰好做匀速直线运动.则物块与桌面间的动摩擦因数为
A. $2-\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

解：当 $F$ 水平时，根据平衡条件得 $F=\mu m g$ ；当保持 $F$ 的大小不变，而方向与水平面成 $60^{\circ}$ 角时，由平衡条件得 $F \cos 60^{\circ}=\mu\left(m g-F \sin 60^{\circ}\right)$ ，联立解得 $\mu=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，故选项C正确.
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`例`如图所示，轻绳 $M N$ 的两端固定在水平天花板上，物体 $m_1$ 系在轻绳 $M N$ 的某处，悬挂有物体 $m_2$ 的光滑轻滑轮跨在轻绳 $M N$ 上.系统静止时的几何关系如图.则 $m_1$ 与 $m_2$ 的质量之比为
A.1：1
B. 1 : 2
C. $1: \sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}: 2$

解：对物体 $m_1$ 上端绳结受力分析，如图甲所示，根据共点力平衡及几何关系可知，合力正好平分两个分力的夹角，可得 $F_1=m_1 g$ ，对滑轮受力分析，如图乙所示，由几何关系得 $F_2=m_2 g$ ，根据轻绳拉力特点可知 $F_1=F_2$ ，则 $m_1=m_2$ ，得 $\frac{m_1}{m_2}=\frac{1}{1}$ ，A正确。
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  ![图片](/uploads/2024-12/67ca15.jpg)
  
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  `例`如图所示，质量为2m的物块A静置于水平台面上，质量为M的半球体C静置于水平地面上，质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上，P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点.系统在图示位置处于静止状态，P点位于半球体球心的正上方，PO竖直，PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ＝30°.已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则
    ![图片](/uploads/2024-12/8bb7a5.jpg)
A.绳OP的拉力大小为mg
B.A受到的摩擦力大小为2μmg
C.C受到的摩擦力大小为     mg
D.地面对C的支持力大小为(M＋m)g

解：对小球 $B$ 受力分析, 如图所示, 绳 $P B$ 的拉力大小 $F$ $=m g \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} m g$, 对结点 $P$ 受力分析可知, 绳 $A P$的拉力大小为 $F_{ T 1}=F \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{4} m g$, 绳 $O P$ 的拉力大小 $F_{ T 2}=F \cos \theta=\frac{3}{4} m g$, 故 A 错误;
对物块 $A$ 受力分析可知，物块 $A$ 所受摩擦力 $F_{ f A}=F_{ T 1}=\frac{\sqrt{3}}{4} m g$ ，故 B错误；

![图片](/uploads/2024-12/5d42d3.jpg)
 
 对绳 $P B$ 、结点 $P$ 和小球 $B$ 、半球体 $C$ 整体受力分析可知, 半球体 $C$ 受到的摩擦力大小 $F_{ f C}=F_{ T 1}=\frac{\sqrt{3}}{4} m g$,地面对半球体 $C$ 的支持力大小为 $F_{ N C}=(M+m) g-F_{ T 2}$ $=M g+\frac{1}{4} m g$, 故 C 正确, D 错误.

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