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强化训练：传送带模型和滑块木板模型

## 水平传送带
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## 倾斜传送带
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 ## 例题
 
 `例`(多选)应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为如图所示的模型.传送带始终保持v＝0.4 m/s的恒定速率运行，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，A、B间的距离为2 m，g取10 m/s2.旅客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，则下列说法正确的是
A.开始时行李的加速度大小为2 m/s2
B.行李经过2 s到达B处
C.行李到达B处时速度大小为0.4 m/s
D.行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.08 m
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 解：开始时，对行李，根据牛顿第二定律有 $\mu m g=m a$ ，解得 $a=2 m / s ^2$ ，故A正确；
设行李做匀加速运动的时间为 $t_1$, 行李做匀加速运动的末速度为 $v=$ $0.4 m / s$, 根据 $v=a t_1$, 代入数据解得 $t_1=0.2 s$, 匀加速运动的位移大小 $x=\frac{1}{2} a t_1{ }^2=\frac{1}{2} \times 2 \times 0.2^2 m=0.04 m$, 匀速运动的时间为 $t_2=\frac{L-x}{v}=$ $\frac{2-0.04}{0.4} s=4.9 s$, 可得行李从 $A$ 到 $B$ 的时间为 $t=t_1+t_2=5.1 s$, 故 B 错误;
由以上分析可知行李在到达 $B$ 处前已经与传送带共速，所以行李到达 $B$ 处时速度大小为 $0.4 m / s$ ，故 C正确；
行李在传送带上留下的摩察痕迹长度为 $\Delta x=v t_1-x=(0.4 \times 0.2-0.04) m$ $=0.04 m$ ，故 $D$ 错误.

`例` 如图，一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动.一小滑块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则其速度v随时间t变化的图像可能是
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   ![图片](/uploads/2024-12/e7926c.jpg)
  解：设传送带倾角为 $\theta$ ，滑块与传送带间的动摩擦因数为
$\mu$ ，滑块质量为 $m$ ，若 $m g \sin \theta>\mu m g \cos \theta$ ，则滑块所受合力沿传送带向下，小滑块向下做匀加速运动；若 $m g \sin \theta=\mu m g \cos \theta$ ，则小滑块沿传送带方向所受合力为零，小滑块匀速下滑；若 $m g \sin \theta<\mu m g \cos \theta$ ，则小滑块所受合力沿传送带向上，小滑块先做匀减速运动，当速度减为零时，开始反向加速，当加速到与传送带速度相同时，因为最大静摩擦力大于小滑块重力沿传送带向下的分力，故小滑块随传送带做匀速运动，A、D错误，B、C正确.

`例`如图甲所示，一足够长的、
倾角为 $37^{\circ}$ 的传送带以恒定速率稳定运行，一质量 $m=1 kg$ 、底部有墨粉的小物体从传送带中间某位置平行滑上传送带，取物体沿传送带向上运动方向为正方向，则物体相对地面的速度随时间变化的关系如图乙所示，若取 $g=10 m / s ^2, \sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$. 则下列说法正确的有 A. $0 \sim 8 s$ 内物体的位移大小为 14 m
B.物体与传送带间的动摩擦因数为 0.625
C. $0 \sim 4 s$ 内物体上升的高度为 4 m
D. $0 \sim 8 s$ 内物体在传送带上留下的墨迹长度为 18 m

解：物体运动的位移即 $v-t$ 图像中图线与
横轴围成的面积，则 $x=\frac{2+6}{2} \times 4 m-$ $2 \times 2 \times \frac{1}{2} m=14 m$, A 正确;
由物体运动的 $v-t$ 图像可知, 在 $2 \sim 6 s$ 内物体做匀加速直线运动,有 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4-0}{4} m / s ^2=1 m / s ^2$ ，且 $\mu m g \cos 37^{\circ}-m g \sin 37^{\circ}=m a$ ，解得 $\mu=0.875$ ，B 错误；
在 $0 \sim 4 s$ 内由题图知，物体运动的位
移为 0 ，则在 $0 \sim 4 s$ 内物体上升的高度
为 0 ， $C$ 错误；
由选项A可知，在 $0 \sim 8 s$ 内物体的位移 $x=14 m$ ，传送带的位移 $x^{\prime}$ $=v t=4 \times 8 m=32 m$ ，则 $0 \sim 8 s$ 内物体在传送带上留下的墨迹长度为 $\Delta x=x^{\prime}-x=18 m, D$ 正确.

#### 提示
1.临界状态：当v物＝v带时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变.
2.物体与传送带的划痕长度Δx等于物体与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，则Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；若两次相对运动方向相反，则Δx等于较长的相对位移大小(图乙).
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