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小船渡河模型

## 两类问题，三种情景

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  `例` 有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为 $v_1$ ，条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为 $v_2$ ，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直.若 $v_1 、 v_2$均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为
A. $\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}$
B. $\frac{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}{v_1}$
C. $\frac{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}{v_2}$
D. $\sqrt{\frac{v_2^2+v_1^2}{v_2}}$
解：根据题意, 设河宽为 $d$, 第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，则渡河时间为 $t_1=\frac{d}{v_2}$ ，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，此时船的合速度为 $v=\sqrt{v_2^2-v_1^2}$, 渡河时间为 $t_2=\frac{d}{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}$, 则第一次过河与第二次过河所用时间的比值为 $\frac{t_1}{t_2}=\frac{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}{v_2}$, 故 $A 、 B 、 D$ 错误, C 正确.

`例` (多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后 10 min 到达对岸下游 120 m 处；若船头保持与上游河岸成 $\alpha$角向上游航行，出发后 12.5 min 到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等，以下说法正确的是
A. 水流的速度大小为 $0.2 m / s$
B.船头与河岸间的夹角 $\alpha$ 为 $60^{\circ}$
C.小船在静水中的速度大小为 $0.6 m / s$
D. 河的宽度为 200 m

解：当船头垂直对岸方向航行时, 如图甲所示, 有 $x=v_2 t_1$,解得水流的速度大小为 $v_2=\frac{x}{t_1}=\frac{120}{600} m / s =0.2 m / s$, 选项 A 正确;

当船头保持与上游河岸成 $\alpha$ 角向上游航行时, 如图乙所示, 有 $v_2=v_1 \cos \alpha, d=v_1 \sin \alpha \cdot t_2$, 由图甲可得 $d=v_1 t_1$,联立解得 $\sin \alpha=\frac{4}{5}, v_1 \approx 0.33 m / s , d=200 m$ ，故船头与上游河岸间的夹角不是 $60^{\circ}$, 选项 $B 、 C$ 错误, D 正确.

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  ![图片](/uploads/2024-12/fbdca1.jpg)
  
  
  
`例`如图所示，水速为 $v$ ，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成 $30^{\circ}$ 角的线路把被困群众从 $A$ 处送到对岸安全地 $B$ 处，则两种方案中冲锋舟最小速度 $v_1$ 和最短时间的冲锋舟速度 $v_2$ 之比为
A. 1 ：2
B. $1: \sqrt{3}$
C. $2: \sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}: 2$
 ![图片](/uploads/2024-12/813b88.jpg)
 
 解：设冲锋舟以最小速度 $v

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