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小船渡河模型

## 两类问题，三种情景

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  `例` 有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为 $v_1$ ，条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为 $v_2$ ，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直.若 $v_1 、 v_2$均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为
A. $\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}$
B. $\frac{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}{v_1}$
C. $\frac{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}{v_2}$
D. $\sqrt{\frac{v_2^2+v_1^2}{v_2}}$
解：根据题意, 设河宽为 $d$, 第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，则渡河时间为 $t_1=\frac{d}{v_2}$ ，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，此时船的合速度为 $v=\sqrt{v_2^2-v_1^2}$, 渡河时间为 $t_2=\frac{d}{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}$, 则第一次过河与第二次过河所用时间的比值为 $\frac{t_1}{t_2}=\frac{\sqrt{v_2^2-v_1^2}}{v_2}$, 故 $A 、 B 、 D$ 错误, C 正确.

`例` (多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后 10 min 到达对岸下游 120 m 处；若船头保持与上游河岸成 $\alpha$角向上游航行，出发后 12.5 min 到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等，以下说法正确的是
A. 水流的速度大小为 $0.2 m / s$
B.船头与河岸间的夹角 $\alpha$ 为 $60^{\circ}$
C.小船在静水中的速度大小为 $0.6 m / s$
D. 河的宽度为 200 m

解：当船头垂直对岸方向航行时, 如图甲所示, 有 $x=v_2 t_1$,解得水流的速度大小为 $v_2=\frac{x}{t_1}=\frac{120}{600} m / s =0.2 m / s$, 选项 A 正确;

当船头保持与上游河岸成 $\alpha$ 角向上游航行时, 如图乙所示, 有 $v_2=v_1 \cos \alpha, d=v_1 \sin \alpha \cdot t_2$, 由图甲可得 $d=v_1 t_1$,联立解得 $\sin \alpha=\frac{4}{5}, v_1 \approx 0.33 m / s , d=200 m$ ，故船头与上游河岸间的夹角不是 $60^{\circ}$, 选项 $B 、 C$ 错误, D 正确.

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`例`如图所示，水速为 $v$ ，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成 $30^{\circ}$ 角的线路把被困群众从 $A$ 处送到对岸安全地 $B$ 处，则两种方案中冲锋舟最小速度 $v_1$ 和最短时间的冲锋舟速度 $v_2$ 之比为
A. 1 ：2
B. $1: \sqrt{3}$
C. $2: \sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}: 2$
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 解：设冲锋舟以最小速度 $v_1$ 和最短时间的冲锋舟速度 $v_2$ 分别从 $A$ 运动到 $B$, 冲锋舟最小速度 $v_1$ 垂直于 $A B$ 连线, 且 $v_1=v \sin 30^{\circ}$, 最短时间的冲锋舟速度 $v_2$ 垂直于平直河岸，且 $v_2=v \tan 30^{\circ}$ ，可知 $\frac{v_1}{v_2}=\cos 30^{\circ}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故选项 D 正确.
 
 ## 关联速度问题
 `例` 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是
A.绳的拉力等于M所受的重力
B.绳的拉力大于M所受的重力
C.物体M向上做匀速运动
D.物体M向上做匀加速运动
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 解：汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方
向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，沿绳
子方向的分速度v′＝vcos θ，汽车在匀速向左
运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，
所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；
由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M所受的重力，故选项A错误，B正确.

`例` 曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是
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A.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0

解：当 $O P$ 与 $O Q$ 垂直时，设 $\angle P Q O=\theta$ ，此时活塞的速度为 $v$ ，将 $P$ 的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度 $v$ 分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时 $v_0 \cos \theta=v \cos \theta$ ，即 $v=v_0$ ，选项A正确， B错误；当 $O 、 P 、 Q$ 在同一直线时， $P$ 沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于 0 ，选项C、D错误。
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 1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上.
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线

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 3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示.

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## 例题
`例` 关于曲线运动，下列叙述不正确的是
A.做曲线运动的物体一定是变速运动
B.做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
C.如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D.因曲线运动的速度在不断变化，所以不可能是匀变速运动
解：做曲线运动的物体，方向时刻在改变，则一定是变速运动，有可能是匀变速运动，故A正确，D错误；
做曲线运动的物体，运动状态时刻在改变，物体所受合外力一定不为零，故B正确；
如果物体不受外力，根据牛顿第一定律可知，物体将保持静止或做匀速直线运动，故C正确.

`例` 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大.图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是
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 解：由题意可得，合力F指向曲线的凹侧，由M向N行驶，速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B可能正确.
 
 `例` 某质点在Oxy平面内运动的轨迹如图所示，则该质点在x、y两个正方向上的运动状况可能是
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A.质点在x、y两方向上都匀速运动
B.质点在x方向上匀速运动，在y方向上先加速后减速
C.质点在y方向上匀速运动，在x方向上先加速后减速
D.质点在y方向上匀速运动，在x方向上先减速后加速
解：若质点在x方向上始终匀速运动，合力沿着y方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着y轴负方向后沿着y轴正方向，则质点在y方向上先减速后加速，故A、B错误；
若质点在y方向上始终匀速运动，合力沿着x方向，根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知，合力先沿着x轴正方向后沿着x轴负方向，则在x方向上先加速后减速，故C正确，D错误.

`例`如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以在静水中的速度v同时渡河.出发时两船相距2L，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点.则下列判断正确的是
A.甲船在A点右侧靠岸
B.甲船在A点左侧靠岸
C.甲、乙两船到达对岸的时间相等
D.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
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解：依题意，乙船恰好能直达正对岸的 $A$ 点，根据速度合成与分解可知 $v=2 u$ ，
将甲、乙两船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，
根据分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间均为 $t=\frac{L}{v \sin 60^{\circ}}$,
可得甲船沿河岸方向上的位移为 $x=\left(u+v \cos 60^{\circ}\right) t=\frac{2 \sqrt{3}}{3} L<2 L$, 即甲船在 $A$ 点左侧靠岸，
显然甲、乙两船不可能在未到达对岸前相遇，
故B、C正确，A、D错误.

`例`如图所示，一根长直轻杆 $A B$ 在墙角沿坚直墙面和水平地面滑动.当 $A B$杆和墙面的夹角为 $\theta$ 时，杆的 $A$ 端沿墙面下滑的速度大小为 $v_1, B$ 端沿地面滑动的速度大小为 $v_2 \cdot v_1 、 v_2$ 的关系是
A. $v_1=v_2$
B. $v_1=v_2 \cos \theta$
C. $v_1=v_2 \tan \theta$
D. $v_1=v_2 \sin \theta$
解：将 $A$ 端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度 $v_{1 / /}=v_1 \cos \theta$ ，将 $B$ 端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度 $v_{2 / /}=v_2 \sin \theta$ ，由于 $v_{1 / /}=v_{2 / /}$ ，所以 $v_1=v_2 \tan \theta$ ，故选C.

`例`如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
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(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
 (2)A、B两点间的距离；
 (3)小球的最大速率 $v_{\text {max }}$.
 解：（1）将小球的运动沿水平方向和坚直方向分解，水平方向有 $F=m a_x, v_0{ }^2=2 a_x x_{\text {max }}$ ，
解得 $x_{\text {max }}=\frac{m v_0{ }^2}{2 F}$.

（2）水平方向速度减小为零所需时间 $t_1=\frac{v_0}{a_x}$由对称性知小球从 $A$ 运动到 $B$ 的总时间 $t=2 t_1$坚直方向上有 $y=\frac{1}{2} g t^2=\frac{2 m^2 g v_0^2}{F^2}$.

（3）小球运动到 $B$ 点时速率最大，此时有 $v_x=v_0$ $v_y=g t$, 则 $v_{\text {max }}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac{v_0}{F} \sqrt{F^2+4 m^2 g^2}$.

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