最后更新: 2024-12-14 08:46 查看: 147 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

圆周运动的临界问题

## 水平面内圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态.
1.常见的临界情况
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等.

2.分析方法
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解.

`例` 如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C.汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
 ![图片](/uploads/2024-12/4b39d6.jpg)
 
 解：汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；
汽车转弯的速度为 $20 m / s$ 时, 根据 $F_{ n }=m \frac{v^2}{R}$, 得所需的向心力为 $1.0 \times 10^4 N$, 没有超过最大静摩擦力, 所以汽车不会发生侧滑, B、C错误；
汽车安全转弯时的最大向心加速度为 $a_{ m }=\frac{F_{ f }}{m}=7.0 m / s ^2, D$ 正确.

`例`(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 
 ![图片](/uploads/2024-12/a13a1c.jpg)
A. $b$ 一定比 $a$ 先开始滑动
B. $a 、 b$ 所受的摩擦力始终相等
C. $\omega=\sqrt{\frac{k g}{2 l}}$ 是 $b$ 开始滑动的临界角速度
D. 当 $\omega=\sqrt{\frac{2 k g}{3 l}}$ 时， $a$ 所受摩擦力的大小为 $k m g$

解：AC。 小木块 $a 、 b$ 做圆周运动时, 由静摩擦力提供向心力, 即 $F_{ f }=m \omega^2 R$.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动, 对木块 $a$ 有 $F_{ f a}=m \omega_a{ }^2 l$, 当 $F_{ f a}=k m g$ 时, $k m g=m \omega_a{ }^2 l, \omega_a$ $=\sqrt{\frac{k g}{l}}$; 对木块 $b$ 有 $F_{ f b}=m \omega_b^2 \cdot 2 l$, 当 $F_{ f b}=k m g$ 时, $k m g=m \omega_b^2 \cdot 2 l$, $\omega_b=\sqrt{\frac{k g}{2 l}}$ ，则 $\omega=\sqrt{\frac{k g}{2 l}}$ 是 $b$ 开始滑动的临界角速度，所以 $b$ 先达到最大静摩擦力, 即 $b$ 比 $a$ 先开始滑动, 选项 $A 、 C$ 正确;
两木块滑动前转动的角速度相同，则 $F_{ f a}=m \omega^2 l$ ，则 $F_{ f b}=m \omega^2 \cdot 2 l, F_{ f a}<F_{ f b}$ ，选项 B 错误；
$\omega=\sqrt{\frac{2 k g}{3 l}}<\omega_a=\sqrt{\frac{k g}{l}}, a$ 没有滑动, 则 $F_{ f a}{ }^{\prime}=m \omega^2 l=\frac{2}{3} k m g$, 选项 D错误.

`例`细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过
 ![图片](/uploads/2024-12/b7a965.jpg)
 A. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$
B. $2 \pi \sqrt{g h}$
C. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{h}{g}}$
D. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{h}}$

解：D. 对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力 $m g$ 、水平桌面支持力 $F_{ N }$ 、绳子拉力 $F$ 。
小球所受合力提供向心力，设绳子与坚直方向夹角为 $\theta$, 由几何关系可知 $R=h \tan \theta$, 受力分析可知 $F \cos \theta+F_{ N }=m g, F \sin \theta=m \frac{v^2}{R}=m \omega^2 R=4 m \pi^2 n^2 R=4 m \pi^2

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