最后更新: 2024-12-14 10:20 ● 参与者查看: 166 次纠错分享参与项目词条搜索

卫星的变轨和对接问题

## 卫星的变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量, 在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道 I 上，卫星在轨道 I 上做匀速圆周运动，有 $G \frac{M m}{r_1{ }^2}=m \frac{v^2}{r_1}$ ，如图所示。
 ![图片](/uploads/2024-12/19eed0.jpg)
 
 (2)在 $A$ 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大， $G \frac{M m}{r_1{ }^2}<m \frac{v_A{ }^2}{r_1}$ ，卫星做离心运动进入椭圆轨道 II.
(3)在椭圆轨道 $B$ 点(远地点)将做近心运动， $G \frac{M m}{r_2{ }^2}>m \frac{v_B{ }^2}{r_2}$ ，再次点火加速，使 $G \frac{M m}{r_2{ }^2}=m \frac{v^{\prime 2}}{r_2}$ ，进入圆轨道III。

2.变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道 I 和III上运行时的速率分别为 $v_1 、 v_3$ ，在轨道 II 上过 $A$ 点和 $B$ 点时速率分别为 $v_A 、 v_B$. 在 $A$ 点加速，则 $v_A>v_1$ ，在 $B$ 点加速，则 $v_3>v_B$ ，又因 $v_1>v_3$ ，故有 $v_A>v_1>v_3>v_B$.
（2）加速度：因为在 $A$ 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道 I 还是轨道II上经过 $A$ 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道II 或轨道III上经过 $B$ 点的加速度也相同.

(3)周期：设卫星在 I、II、III轨道上的运行周期分别为 $T_1 、 T_2 、 T_3$ ，轨道半径分别为 $r_1 、 r_2$ (半长轴)、 $r_3$ ，由开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 可知 $T_1<T_2<T_3$ 。 
（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒，若卫星在 I、II、 III轨道的机械能分别为 $E_1 、 E_2 、 E_3$ ，从轨道 I 到轨道 II 和从轨道 II 到轨道III都需要点火加速，则 $E_1<E_2<E_3$.

`例` 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆.探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点.下列关于探测器说法正确的是
A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C.在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D.在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度

解：由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；
根据开普勒第三定律有 $\frac{r_2^3}{T_2{ }^2}=\frac{a_3^3{ }^3}{T_3^2}$, 因轨道 II 的半径大于轨道
III的半长轴, 所以在轨道 II 上运行的周期大于在轨道III上运行的周期, B 错误;根据 $v=\sqrt{\frac{G M}{R}}$ 可知，在轨道 II 上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度， C 错误;
根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道III上，探测器运行到 $O$ 点的线速度小于运行到 $Q$ 点的线速度，D错误.

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`例`嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020年12月17日成功返回，最终收获1 731克样本.图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是
A.在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B.在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上运动时的加速度大小
C.在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回
D.在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
 ![图片](/uploads/2024-12/faa818.jpg)
 
 解：轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据
开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周
期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；
在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N点受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度相同，故B错误；
从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回，故C正确；
在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误.

`例` 2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕.如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动.已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，
引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对
卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)
 ![图片](/uploads/2024-12/3607c6.jpg)
 
 $A \cdot \frac{3}{4} m v^2+\frac{3 G m_{\text {地 }} m}{4 r}$
B. $\frac{3}{4} m v^2-\frac{3 G m_{\text {地 }} m}{4 r}$
C. $\frac{5}{8} m v^2+\frac{3 G m_{\text {地 }} m}{4 r}$
D. $\frac{5}{8} m v^2-\frac{3 G m_{\text {地 }} m}{4 r}$

解：当卫星在 $r_1=r$ 的圆轨道上运行时，有 $G \frac{m_{\text {地 }} m}{r^2}=m \frac{v_0^2}{r}$ ，解得在此圆轨道上运行时通过 $A$ 点的速度为 $v_0=\sqrt{\frac{G m_{\text {地 }}}{r}}$,所以发动机在 $A$ 点对卫星做的功为 $W_1=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m v_0^2=\frac{1}{2} m v^2-\frac{G m_{\text {地 }} m}{2 r}$;当卫星在 $r_2=2 r$ 的圆轨道上运行时, 有 $G \frac{m_{\text {出 }}}{(2 r)^2}=m \frac{v_0{ }^{\prime}{ }^2}{2 r}$, 解得在此圆轨道上运行时通过 $B$ 点的速度为 $v_0{ }^{\prime}=\sqrt{\frac{G m_{\text {地 }}}{2 r}}$,
而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过 $B$ 点时的速度为 $v_1=\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2} v$,故发动机在 $B$ 点对卫星做的功为 $W_2=\frac{1}{2} m v_0{ }^{\prime}{ }^2-\frac{1}{2} m v_1^2=\frac{G m_{\text {㞅 }} m}{4 r}-\frac{1}{8} m v^2$,所以 $W_1-W_2=\frac{5}{8} m v^2-\frac{3 G m_{\text {地 }} m}{4 r}$ ，D 正确。

`例`北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时.为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动.对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m).为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C.飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
解：根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.

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