最后更新: 2024-12-14 10:20 查看: 459 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

卫星的变轨和对接问题

## 卫星的变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量, 在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道 I 上，卫星在轨道 I 上做匀速圆周运动，有 $G \frac{M m}{r_1{ }^2}=m \frac{v^2}{r_1}$ ，如图所示。
 ![图片](/uploads/2024-12/19eed0.jpg)
 
 (2)在 $A$ 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大， $G \frac{M m}{r_1{ }^2}<m \frac{v_A{ }^2}{r_1}$ ，卫星做离心运动进入椭圆轨道 II.
(3)在椭圆轨道 $B$ 点(远地点)将做近心运动， $G \frac{M m}{r_2{ }^2}>m \frac{v_B{ }^2}{r_2}$ ，再次点火加速，使 $G \frac{M m}{r_2{ }^2}=m \frac{v^{\prime 2}}{r_2}$ ，进入圆轨道III。

2.变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道 I 和III上运行时的速率分别为 $v_1 、 v_3$ ，在轨道 II 上过 $A$ 点和 $B$ 点时速率分别为 $v_A 、 v_B$. 在 $A$ 点加速，则 $v_A>v_1$ ，在 $B$ 点加速，则 $v_3>v_B$ ，又因 $v_1>v_3$ ，故有 $v_A>v_1>v_3>v_B$.
（2）加速度：因为在 $A$ 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道 I 还是轨道II上经过 $A$ 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道II 或轨道III上经过 $B$ 点的加速度也相同.

(3)周期：设卫星在 I、II、III轨道上的运行周期分别为 $T_1 、 T_2 、 T_3$ ，轨道半径分别为 $r_1 、 r_2$ (半长轴)、 $r_3$ ，由开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 可知 $T_1<T_2<T_3$ 。 
（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒，若卫星在 I、II、 III轨道的机械能分别为 $E_1 、 E_2 、 E_3$ ，从轨道 I 到轨道 II 和从轨道 II 到轨道III都需要点火加速，则 $E_1<E_2<E_3$.

`例` 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆.探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点.下列关于探测器说法

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