最后更新: 2024-12-14 10:23 ● 参与者查看: 253 次纠错分享参与项目词条搜索

双星或多星模型

1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统.如图所示.
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供, 即 $\frac{G m_1 m_2}{L^2}=m_1 \omega_1^2 r_1$, $\frac{G m_1 m_2}{L^2}=m_2 \omega_2^2 r_2$.
②两星的周期、角速度相同，即 $T_1=T_2, \omega_1=\omega_2$ 。
(3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为 $r_1+r_2=L$.
(4)两星到圆心的距离 $r_1 、 r_2$ 与星体质量成反比, 即 $\frac{m_1}{m_2}=\frac{r_2}{r_1}$
(5)双星的运动周期 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L^3}{G\left(m_1+m_2\right)}}$.
(6) 双星的总质量 $m_1+m_2=\frac{4 \pi^2 L^3}{T^2 G}$.
 ![图片](/uploads/2024-12/9e60b3.jpg)
 
 
 
 ### 2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同.常见的多星及规律：

![图片](/uploads/2024-12/37e7eb.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/88b5f2.jpg)

`例`如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星.观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面.观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则
A.恒星A、B运动的周期为T
B.恒星A的质量小于B的质量
C.恒星A、B的总质量为 $\frac{\pi^2 d^3}{G T^2}$
D.恒星A的线速度大于B的线速度

解：每隔时间 $T$ 两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为 $T^{\prime}=2 T$ ，故A错误；
根据万有引力提供向心力有 $G \frac{m_A m_B}{d^2}=m_A \frac{4 \pi^2}{(2 T)^2} r_A=$ $m_B \frac{4 \pi^2}{(2 T)^2} r_B$, 由题图知 $r_A<r_B$, 则 $m_A>m_B$, 故 B 错误;由 B 选项得，两恒星总质量为 $M=m_A+m_B=\frac{\pi^2 d^3}{G T^2}$ ，故 C 正确；根据 $v=\omega r$ ，两恒星角速度相等，则 $v_A<v_B$ ，故D错误.

`例`　(多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略.设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动.已知引力常量为G，下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/49dee6.jpg)
 A.每颗星体所需向心力大小为 $2 G \frac{m^2}{r^2}$
B. 每颗星体运行的周期均为 $2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{3 G m}}$
C. 若 $r$ 不变, 星体质量均变为 $2 m$, 则星体的角速度变为原来的 $\sqrt{2}$ 倍
D. 若 $m$ 不变，星体间的距离变为 $4 r$ ，则星体的线速度变为原来的 $\frac{1}{4}$

解：任意两颗星体间的万有引力大小 $F_0=G \frac{m^2}{r^2}$ ，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为 $F=2 F_0 \cos 30^{\circ}$ $=\sqrt{3} G \frac{m^2}{r^2}$ ，A 错误；
由牛顿第二定律可得 $F=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 r^{\prime}$, 其中 $r^{\prime}=\frac{\frac{r}{2}}{\cos 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3} r}{3}$, 解得每颗星体运行的周期均为 $T=2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{3 G m}}$, B 正确;

星体原来的角速度 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=\sqrt{\frac{3 G m}{r^3}}$, 若 $r$ 不变, 星体质量均变为 $2 m$, 则星体的角速度 $\omega^{\prime}=\frac{2 \pi}{T^{\prime}}=$ $\sqrt{\frac{6 G m}{r^3}}$, 则星体的角速度变为原来的 $\sqrt{2}$ 倍, C 正确;星体原来的线速度大小 $v=\frac{2 \pi r^{\prime}}{T}$ ，若 $m$ 不变，星体间的距离变为 $4 r$ ，则星体的周期 $T^{\prime}=2 \pi \sqrt{\frac{(4 r)^3}{3 G m}}=16 \pi \sqrt{\frac{r^3}{3 G m}}=8 T$, 星体的线速度大小 $v^{\prime}=\frac{2 \pi}{T^{\prime}} \times 4 r^{\prime}=\frac{\pi r^{\prime}}{T}$, 则星体的线速度变为原来的 $\frac{1}{2}, D$ 错误.

![图片](/uploads/2024-12/a1fd46.jpg)

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