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星球瓦解与黑洞

## 1. 星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对"赤道"上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会 "飘起来"，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力, 即 $\frac{G M m}{R^2}=m \omega^2 R$, 得 $\omega=$ $\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$. 当 $\omega>\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$ 时, 星球瓦解，当 $\omega<\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$ 时，星球稳定运行。

## 2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞.当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的  $\sqrt{2}$   倍)超过光速时，该天体就是黑洞.

`例`2018年2月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星 " $0318+0253 "$ ，其自转周期 $T=5.19 ms$. 假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 $6.67 \times 10^{-11} N \cdot m ^2 / kg ^2$. 以周期 $T$稳定自转的星体的密度最小值约为
A. $5 \times 10^9 kg / m ^3$
B. $5 \times 10^{12} kg / m ^3$
C. $5 \times 10^{15} kg / m ^3$
D. $5 \times 10^{18} kg / m ^3$
解：脉冲星稳定自转, 万有引力提供向心力, 则有 $G \frac{M m}{r^2} \geqslant m r \frac{4 \pi^2}{T^2}$, 又知 $M$ $=\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$, 整理得密度 $\rho \geqslant \frac{3 \pi}{G T^2}=\frac{3 \times 3.14}{6.67 \times 10^{-11} \times\left(5.19 \times 10^{-3}\right)^2} kg / m ^3 \approx$ $5.2 \times 10^{15} kg / m ^3$, 故选 C.

`例`科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞.科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$  倍)超过光速时，该天体就是黑洞.已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于

A. $ \frac{2 v_1^2 R}{k c^2}$
B. $\frac{2 k c^2 R}{

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