最后更新: 2024-12-14 10:31 ● 参与者查看: 129 次纠错分享参与项目词条搜索

星球瓦解与黑洞

1. 星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对"赤道"上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会 "飘起来"，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力, 即 $\frac{G M m}{R^2}=m \omega^2 R$, 得 $\omega=$ $\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$. 当 $\omega>\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$ 时, 星球瓦解，当 $\omega<\sqrt{\frac{G M}{R^3}}$ 时，星球稳定运行。

2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞.当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的  $\sqrt{2}$   倍)超过光速时，该天体就是黑洞.

`例`2018年2月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星 " $0318+0253 "$ ，其自转周期 $T=5.19 ms$. 假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 $6.67 \times 10^{-11} N \cdot m ^2 / kg ^2$. 以周期 $T$稳定自转的星体的密度最小值约为
A. $5 \times 10^9 kg / m ^3$
B. $5 \times 10^{12} kg / m ^3$
C. $5 \times 10^{15} kg / m ^3$
D. $5 \times 10^{18} kg / m ^3$
解：脉冲星稳定自转, 万有引力提供向心力, 则有 $G \frac{M m}{r^2} \geqslant m r \frac{4 \pi^2}{T^2}$, 又知 $M$ $=\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$, 整理得密度 $\rho \geqslant \frac{3 \pi}{G T^2}=\frac{3 \times 3.14}{6.67 \times 10^{-11} \times\left(5.19 \times 10^{-3}\right)^2} kg / m ^3 \approx$ $5.2 \times 10^{15} kg / m ^3$, 故选 C.

`例`科技日报北京2017年9月6日电，英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞.科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$  倍)超过光速时，该天体就是黑洞.已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于

A. $ \frac{2 v_1^2 R}{k c^2}$
B. $\frac{2 k c^2 R}{v_1^2}$
C. $\frac{k v_1^2 R}{2 c^2}$
D. $\frac{2 k v_1^2 R}{c^2}$

解：地球的第一宇宙速度为 $v_1=\sqrt{\frac{G M}{R}}$, 则黑洞的第一宇宙速度为 $v_2=$ $\sqrt{\frac{G k M}{r}}$, 并且有 $\sqrt{2} v_2>c$, 联立解得 $r<\frac{2 k v_1^2 R}{c^2}$, 所以 D 正确, $A 、 B 、$ C 错误。

`例` 宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示.假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.
 ![图片](/uploads/2024-12/5384ce.jpg)
 
 则下列说法正确的是
A.恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为$G_{r_1{ }^2}^{m_2}$
B.恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C.恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D.某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，
　则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小
解：对于恒星 1 , 根据万有引力提供向心力有 $\frac{G m_1 m_2}{\left(r_1+r_2\right)^2}=$ $m_1 a_{ n 1}$, 则恒星 1 的向心加速度大小 $a_{ n 1}=\frac{G m_2}{\left(r_1+r_2\right)^2}$,故 A 错误；

由 $m g=\frac{G M m}{R^2}$, 解得 $g=\frac{G M}{R^2}$, 由于不能确定两恒星半径 $R$ 的大小,故不能确定表面重力加速度的大小，故 B 错误；

对于双星运动有 $m_1 r_1=m_2 r_2$ ，又因为角速度相同，根据角速度与线速度关系有 $m_1 \omega r_1=m_2 \omega r_2$ ，即 $m_1 v_1$ $=m_2 v_2$ ，则动量大小相等，故 C 错误；
设两恒星之间距离为 $L$, 对恒星 1 , 有 $\frac{G m_1 m_2}{L^2}=m_1\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 r_1$,对恒星 2，有 $\frac{G m_1 m_2}{L^2}=m_2\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 r_2$ ，上述两式相加得 $\frac{G m_2}{L^2}+\frac{G m_1}{L^2}=\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 r_1+$ $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 r_2$ ，解得 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L^3}{G\left(m_1+m_2\right)}}$ ，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时, 双星做圆周运动的共同周期逐渐减小, 故 D 正确.

`例`(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/fdf5e7.jpg)
 A. 星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B. 每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 $\sqrt{\frac{(4+\sqrt{2}) G m}{2 L^3}}$
C. 若边长 $L$ 和星体质量 $m$ 均是原来的两倍, 星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D. 若边长 $L$ 和星体质量 $m$ 均是原来的两倍, 星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
解：四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错吴；
由 $\sqrt{2} G \frac{m^2}{L^2}+G \frac{m^2}{(\sqrt{2} L)^2}=\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right) G \frac{m^2}{L^2}=m \omega^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} L$, 可知 $\omega=$ $\sqrt{\frac{(4+\sqrt{2}) G m}{2 L^3}}$, 故 B 正确;
由 $\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right) G \frac{m^2}{L^2}=m a$ 可知, 若边长 $L$ 和星体质量 $m$ 均为原来的两倍,星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的 $\frac{1}{2}$, 故 C 错误;
由 $\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right) G \frac{m^2}{L^2}=m \frac{v^2}{\frac{\sqrt{2}}{2} L}$ 可知星体做匀速圆周运动的线速度
大小为 $v=\sqrt{\frac{(4+\sqrt{2}) G m}{4 L}}$, 所以若边长 $L$ 和星体质量 $m$ 均是原来的两倍, 星体做匀速圆周运动的线速度大小不变, 故 D 正确.

`例`黑洞是一种密度极大、引力极大的天体, 以至于光都无法逃逸, 科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为 $v=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$, 其中引力常量为 $G, M$ 是该黑洞的质量, $R$ 是该黑洞的半径. 若天文学家观测到与该黑洞相距为 $r$ 的天体以周期 $T$ 绕该黑洞做匀速圆周运动, 光速为 $c$, 则下列关于该黑洞的说法正确的是
A. 该黑洞的质量为 $\frac{G T^2}{4 \pi r^3}$
B. 该黑洞的质量为 $\frac{4 \pi r^3}{G T^2}$
C. 该黑洞的最大半径为 $\frac{4 \pi^2 r^3}{c^2}$
D. 该黑洞的最大半径为 $\frac{8 \pi^2 r^3}{c^2 T^2}$

解：天体绕黑洞运动时, 有 $\frac{G M m}{r^2}=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 r$, 解得 $M=\frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$, 选项 $A 、 B$错误;
黑洞的逃逸速度不小于光速, 则有 $\sqrt{\frac{2 G M}{R}} \geqslant_{ c }$, 解得 $R \leqslant \frac{2 G M}{c^2}=\frac{8 \pi^2 r^3}{c^2 T^2}$,选项 C 错误，D 正确。

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