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功与功率

## 功

在初中，我们所学的计算功的公式是 $W=Fs$ ，式中，F 表示物体受到的力的大小，s 是物体在力的方向上通过的距离。现在将 s 定义为物体在力的方向上发生的位移大小，因此，当物体在力的方向上发生位移时，称力对物体做了功。**功是标量**。在国际单位制中，力的单位是 N，位移的单位是 m，功的单位就是 N·m。为了纪念英国物理学家焦耳（图 7–3），将功的单位命名为“焦耳”，用符号 J 表示，即 $1 J = 1 N·m$。

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 图 7–3  焦耳

## 怎样计算恒力的功？
在一般情况下，作用在物体上的力与物体位移的方向不一定相同，这时可以用矢量分解的方法来分析力做功的情况。
如图 7–5 所示，物体受恒力 F 的作用由 A 沿直线运动到 B，F 与物体位移 s
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 成 $\theta$ 角。这时可以将 $F$ 沿 $s$ 方向和与 $s$ 垂直的方向分解成两个分力 $F_1, ~ F_2$ 。其中，$F_1$ 与 $s$在同一直线上，则 $F_1$ 对物体做功。由于 $F_1=F \cos \theta$ ，故 $F_1$ 对物体做功为 $W=F_1 s=$ $F s \cos \theta 。 F_2$ 与 $s$ 垂直，物体在 $F_2$ 的方向上无位移，故 $F$ 对物体做功为零。

综上所述，物体做直线运动时，恒力对物体所做的功等于恒力大小，位移大小，恒力与位移之间夹角 $\theta$ 的余弦三者的乘积，即

$$
\boxed{
W=F s \cos \theta
}
$$

## 曲线运动的功率

物体做曲线运动时，恒力对物体所做的功怎样计算呢？

如图 7–6（a）所示，物体沿任意曲线路径由 A 运动到 B，作用于物体的恒力 F 与物体位移 s 所成角为 θ。

如图 7–6（b）所示，将物体途经的曲线路径分割成无限多微小段，物体经过每一微小段的运动可视为直线运动。图 7–6（b）中第 i 个微小段的位移 Δsi 与恒力 F 所成的夹角为 θ，在这段微小位移上，恒力 F 做的微小功 ΔWi = FΔsicosθi。将 Δsi 沿 F 方向和与 F 垂直的方向分解成两个分位移 Δsi1，和 Δs2，Δsi1 = Δsicosθi，Δsi2 = Δsisinθi。因此，ΔWi = FΔsi1。

物体从 A 沿曲线运动到 B 过程中，恒力 F 对物体所做的功 W 就是每一段微小位移上恒力 F 所做功的代数和，即

$$
W=\Delta W_1+\Delta W_2+\cdots=F \Delta s_{11}+F \Delta s_{21}+\cdots=F\left(\Delta s_{11}+\Delta s_{21}+\cdots\right)
$$

从几何角度而言，上式中的 $\left(\Delta s_{11}+\Delta s_{21}+\ldots\right)$ 即每一微小段位移沿 $F$ 方向分量的累加，其结果等于图 7－6（a）中位移 $s$ 沿 $F$ 方向的分量 $s_1, s_1=s \cos \theta$ 。

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  图 7–6  曲线运动中恒力对物体做的功
  
  综上所述，物体做曲线运动时，恒力对物体所做的功也等于恒力大小，位移大小，恒力与位移之间夹角的余弦三者的乘积，即

$$
W=F s \cos \theta
$$

由此可见，恒力所做的功不仅取决于恒力的大小和位移的大小，还取决于恒力和位移之间的夹角。

当 $0 \leqslant \theta<\frac{\pi}{2}$ 时， $\cos \theta>0, W>0$ ，称恒力做正功；
当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时， $\cos \theta=0, W=0$ ，称恒力不做功；
当 $\frac{\pi}{2}<\theta \leqslant \pi$ 时， $\cos \theta<0, W<0$ ，称恒力做负功，或称物体克服恒力做功。
如图 7－4（d）所示，运动员对杠铃的作用力与杠铃位移的夹角为 $\pi$ ，运动员对杠铃做负功。

实际情况下，物体往往受到多个力的作用，从而需要计算多个力对物体所做的总功。由于功是标量，故无论物体是受多个力先后作用还是受多个力同时作用，所有力对物体所做的总功等于各个力对物体所做功的代数和。若物体可以被视作质点且受多个力同时作用，则所有的力均为共点力，它们所做的功也等于所有力的合力所做的功。

`例` 如图 7–7 所示，工人将重 G = 100 N、装满棉花的包裹沿离地高 h = 1 m的水平平台由静止开始从 A 处推至平台边缘 B 处，A、B 间的距离为 4 m；工人对包裹施加恒定的推力，推力大小 F = 50 N，推力与水平面的夹角 θ = 37°；包裹到达 B 处时，撤去推力，包裹随即在重力作用下落至水平地面上的 C 处。若包裹与平台间的动摩擦因数 μ = 0.2，分别求出作用于包裹的各个力所做的功，以及这些力

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