最后更新: 2024-12-14 11:13 ● 参与者查看: 63 次纠错分享参与项目词条搜索

功与功率

## 功

当力 $F$ 的方向与运动方向成某一角度时 (图 8.1-1),可以把力 $F$ 分解为两个分力: 与位移方向一致的分力 $F_1$,与位移方向垂直的分力 $F_2$ 。设物体在力 $F$ 的作用下发生的位移的大小是 $l$, 则分力 $F_1$ 所做的功等于 $F_1 l_{\circ}$ 分力 $F_2$ 的方向与位移的方向垂直, 物体在 $F_2$ 的方向上没有发生位移, $F_2$ 所做的功等于 0 。因此, 力 $F$ 对物体所做的功 $W$ 等于 $F_1 l$,而 $F_1=F \cos \alpha$, 所以

![图片](/uploads/2024-01/image_20240109887955e.png)

$$
W=F l \cos \alpha
$$

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

功是标量。在国际单位制中, 功的单位是焦耳 (joule),简称焦, 符号是 $\mathrm{J} 。 1 \mathrm{~J}$ 等于 $1 \mathrm{~N}$ 的力使物体在力的方向上发生 $1 \mathrm{~m}$ 位移的过程中所做的功, 所以

$$
1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}
$$

## 功率

在物理学中, 做功的快慢用功率表示。如果从开始计时到时刻 $t$这段时间内, 力做的功为 $W$, 则功 $W$ 与完成这些功所用时间 $t$ 之比叫作功率 (power)。用 $P$ 表示功率, 则有

$$
P=\frac{W}{t}
$$

在国际单位制中, 功率的单位是瓦特 (watt), 简称瓦, 符号是 $\mathrm{W} 。 1 \mathrm{~W}=1 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$ 。瓦这个单位比较小, 技术上常用干瓦 $(\mathrm{kW})$作功率的单位, $1 \mathrm{~kW}=1000 \mathrm{~W}$ 。力、位移、时间都与功率相联系,这种联系在技术上具有重要意义。

如果物体沿位移方向受的力是 $F$, 从计时开始到时刻 $t$ 这段时间内, 发生的位移是 $l$, 则力在这段时间内所做的功

$$
W=F l
$$

因此, 有

$$
P=\frac{W}{t}=\frac{F l}{t}
$$

由于位移 $l$ 是从开始计时到时刻 $t$ 这段时间内发生的，所以
$\frac{l}{t}$ 是物体在这段时间内的平均速度 $v$, 于是上式可以写成

$$
P=F v
$$

可见, 一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率,等于这个力与物体速度的乘积。

从以上推导过程来看, $P=F v$ 中的速度 $v$ 是物体在恒力 $F$ 作用下的平均速度, 所以这里的功率 $P$ 是指从计时开始到时刻 $t$ 的平均功率。如果时间间隔非常小, 上述平均速度就可以看作瞬时速度, 这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。

分析表明, 物体运动时, 重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关, 而跟物体运动的路径无关。也就是说, 只要起点和终点的位置不变, 不论物体沿什么路径运动, 重力所做的功都相同。功等于物体所受的重力跟起点高度的乘积 $m g h_1$ 与跟终点高度的乘积 $m g h_2$ 两者之差。

看起来, 物体所受的重力 $m g$ 与它所处位置的高度 $h$ 的乘积 $m g h$, 具有特殊的意义。
重力势能
$m g h$ 的特殊意义在于它一方面与重力做的功密切相关,另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加, 恰与前述重力势能的特征一致。因此, 我们把 $m g h$ 叫作物体的重力势能 ( gravitational potential energy), 常用 $E_{\mathrm{p}}$ 表示, 即

$$
E_{\mathrm{p}}=m g h
$$

与其他形式的能一样, 重力势能也是标量, 其单位与功的单位相同, 在国际单位制中都是焦耳, 符号为 $\mathrm{J}$ 。

$$
1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{m}=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}
$$

有了重力势能的表达式, 重力做的功与重力势能的关系可以写为

$$
W_{\mathrm{G}}=E_{\mathrm{p} 1}-E_{\mathrm{p} 2}
$$

其中 $E_{\mathrm{p} 1}$ 表示物体在初位置的重力势能, $E_{\mathrm{p} 2}$ 表示物体在末位置的重力势能。

当物体由高处运动到低处时, 重力做正功, 重力势能减少, 即

$$
W_{\mathrm{G}}>0, E_{\mathrm{p} 1}>E_{\mathrm{p} 2}
$$

当物体由低处运动到高处时 (图 8.2-2), 重力做负功,重力势能增加, 即

$$
W_{\mathrm{G}}<0, \quad E_{\mathrm{p} 1}<E_{\mathrm{p} 2}
$$

1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在 力的方向 上发生位移.
2.公式 $W=F l \cos \alpha$
(1) $\alpha$ 是力与 位移 方向之间的夹角， $l$ 为物体的位移.
(2)该公式只适用于恒力 做功.

## 判断
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功.（ $\times$ ）

2一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动.$(\sqrt{ })$
3.作用力做正功时，反作用力一定做负功（ $\times$ ）
4.力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。
$(\sqrt{ })$

1. 是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断;
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角 $\alpha$ 判断： $0 \leqslant \alpha<90^{\circ}$ ，力做正功； $\alpha=90^{\circ}$ ，力不做功； $90^{\circ}<\alpha \leqslant 180^{\circ}$ ，力做负功.

2. 计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用 $W=F l \cos \alpha$ 计算.
(2)合外力做的功

方法一: 先求合外力 $F_{\text {合 }}$ ，再用 $W_{\text {合 }}=F_{\text {合 }} l \cos \alpha$ 求功。
方法二：先求各个力做的功 $W_1 、 W_2 、 W_3 \cdots$ ，再应用 $W_{\text {合 }}=W_1+W_2+W_3$ $+\cdots$ 求合外力做的功。
方法三：利用动能定理 $W_{\text {合 }}=E_{ k 2}-E_{ k 1}$.

`例`如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方.现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则
 ![图片](/uploads/2024-12/49164e.jpg)
A.合外力对磁铁做正功
B.AB对磁铁的作用力不做功
C.AB对磁铁的弹力不做功
D.AB对磁铁的摩擦力不做功
解：由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合
外力对磁铁不做功，故A错误；
磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根
据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；
AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；
AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误.

`例`如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中.g取10 m/s2，求：
 ![图片](/uploads/2024-12/5fc3ff.jpg)
(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功.

解：（1）物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示由平衡条件得 $F_{ f } \cos \theta-F_{ N } \sin \theta=0$ ，

$$
F_{f} \sin \theta+F_{N} \cos \theta-G=0
$$

代入数据得 $F_{ f }=10 N, F_{ N }=10 \sqrt{3} N$

$$
x=v t=20 m
$$

斜面对物体的支持力所做的功

$$
W_{N}=F_{N} x \cos \theta=300 J
$$

（2）
$$
\begin{aligned}
&\text { 斜面对物体的摩擦力所做的功 }\\
&W_{f}=F_{f} x \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=100 J
\end{aligned}
$$

(3)物体重力做的功WG＝－Gx＝－400 J

(4)合外力对物体做的功
方法一: $W_{\text {合 }}=W_{ N }+W_{ f }+W_{ G }=0$
方法二： $F_{\text {合 }}=0, W_{\text {合 }}=F_{\text {合 }} x \cos \alpha=0$.

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