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机车启动问题

机车启动问题是高考物理中，关于功与能应用的重要组成部分。下面给出机车启动的常见场景。

## 两种启动方式
如下图，机车以恒定功率或者恒定加速度运动。考生需要能看懂图形的意义。

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### 三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程, 机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度, 即

$$
v_{m}=\frac{P}{F_{\text {阻 }}} .
$$

(2)机车以恒定加速度启动的过程中, 匀加速过程结束时, 功率最大, 但速度不是最大
$v=P_额 /F <v_m=P_额 /F_阻$

(3)机车以恒定功率启动时, 牵引力做的功 $W=P t$. 由动能定理得: $P t-F_{\text {阻 }} x$ $=\Delta E_{ k }$. 此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间.

`例` (多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动(设整个过程中汽车所受的阻力不变).在下列选项中能正确反映汽车速度v、汽车牵引力F在这个过程中随时间t的变化规律的是
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 解：开始时汽车做匀速运动, 则 $F_0=F_{ f} \text {. 由 }  P=F v$ 可判断, $P=F_0 v_0, v_0=$ $\frac{P}{F_0}=\frac{P}{F_{ f }}$, 当汽车功率减小一半, 即 $P^{\prime}=\frac{P}{2}$ 时, 其牵引力为 $F^{\prime}=\frac{P^{\prime}}{v_0}$ $=\frac{F_0}{2}<F_{ f }$, 汽车开始做减速运动, $F_1=\frac{P^{\prime}}{v}=\frac{P}{2 v}$, 加速度大小为 $a=$ $\frac{F_{ f }-F_1}{m}=\frac{F_{ f }}{m}-\frac{P}{2 m v}$, 由此可见, 随着汽车速度 $v$ 减小, 其加速度 $a$ 也减小, 即汽车做加速度不断减小的减速运动, 最终以 $v=\frac{v_0}{2}$ 做匀速直线运动，故 A 正确， B 错误；
同理, 可判断出汽车的牵引力由 $F^{\prime}=\frac{F_0}{2}$ 最终增加到 $F_0$, 故 D 正确, C 错误。

`例` 某汽车质量m＝2 000 kg，发动机的额定功率为P，当汽车在路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的0.1倍.若汽车从静止开始以a＝1 m/s2的加速度在水平路面上匀加速启动，t1＝20 s时，达到额定功率.此后汽车以额定功率运动，t2＝100 s时速度达到最大值，汽车的v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2.求：
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(1)该汽车的额定功率P；
(2)当速度为25 m/s时，汽车加速度大小；
(3)汽车在0～t2时间内的位移大小x.

解：（1）由题图可知，汽车的最大速度为 $v_{ m }=40 m / s$ ，汽车达到最大速度时满足 $F=F_{ f }=0.1 mg$汽车的额定功率为 $P=F v_{ m }=8 \times 10^4 W=80 kW$

(2) 当速度为 $v=25 m / s$ 时, 汽车牵引力为 $F=\frac{P}{v}=3200 N$由牛顿第二定律得 $F-F_{ f }=m a^{\prime}$
解得 $a^{\prime}=0.6 m / s ^2$

（3）$0 \sim t_1$ 时间内汽车通过的位移为 $x_1=\frac{v_1}{2} t_1=200 m$汽车在 $t_1$ 至 $t_2$ 期间, 根据动能定理得 $P\left(t_2-t_1\right)-F_{ fx }^2=\frac{1}{2} m m_{ m }{ }^2-\frac{1}{2} m v_1^2$代入数据解得 $x_2=2600 m$所以 $0 \sim t_2$ 时间内汽车通过的总位移大小为 $x=x_1+x_2=2800 m$.

`例`图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止.下列关于做功的判断中正确的是
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A.图甲中支持力对人做正功
B.图甲中摩擦力对人做负功
C.图乙中支持力对人做正功
D.图乙中摩擦力对人做负功
解：题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；
题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误.

`例`一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数 1/v  和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度.下列说法中正确的是
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A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
解：由牛顿第二定律有 $\frac{P}{v}-F_{ f }=m a$ ，可知赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，将公式整理得 $\frac{1}{v}=\frac{m}{P} a+$ $\frac{F_{ f }}{P}$, 可见 $\frac{1}{v}-a$ 图像的斜率恒定为 $\frac{m}{P}$, 与纵轴的截距为 $\frac{F_{ f }}{P}$, 可得 $\frac{F_{ f }}{P}=0.05 s / m , \frac{m}{P}=\frac{0.1-0.05}{20} s^3 / m ^2$, 解得 $m=25 kg, F_{ f }=$ 500 N , 将 $v=5 m / s$ 代入公式, 解得 $a=60 m / s ^2$, 故 C 正确, A、B、 D 错误。

`例`一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，汽车先保持牵引力F0不变，当速度为v1时达到额定功率Pe，此后以额定功率继续行驶，最后以最大速度vm匀速行驶.若汽车所受的阻力Ff为恒力，汽车运动过程中的速度为v、加速度为a、牵引力为F、牵引力的功率为P，则下列图像中可能正确的是
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  解：因为汽车先保持牵引力 $F_0$ 不变，由牛顿第二定律可得 $F_0-F_{ f }=m a$ ，又因为汽车所受的阻力 $F_{ f }$ 为恒力，所以开始阶段汽车做匀加速直线运动，所以 $v$ - $t$ 图像开始应有一段倾斜的直线，故A错误；
因为当速度为 $v_1$ 时达到额定功率 $P_{ e }$, 此后以额定功率继续行驶, 则满足 $P_{ e }=F v$, 即 $F$ 与 $v$ 成反比, $F$ 与 $\frac{1}{v}$ 成正比, 所以 $F-v$ 图像中 $v_1 \sim$ $v_{ m }$ 段图像应为曲线， $F$ 与 $\frac{1}{v}$ 图像中 $\frac{1}{v_{ m }} \sim \frac{1}{v_1}$ 段图像应为直线，故 B 错误， C 正确;
因为当速度为v1之前，保持牵引力F0不变，则功率满足P＝F0v，即P与v成正比，所以P－v图像中0～v1段图像应为过原点的直线，故D错误.

`例`(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面.某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，质量相等.不考虑摩擦阻力和空气阻力.对于第①次和第②次提升过程，下列说法正确的有
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A.矿车上升所用的时间之比为4∶5
B.电机的最大牵引力之比为2∶1
C.电机输出的最大功率之比为2∶1
D.电机所做的功之比为4∶5
解：由题图可得, 变速阶段的加速度大小 $a=\frac{v_0}{t_0}$, 设第(2)次所用时间为 $t_2$, 根据速度一时间图像与时

间轴所围的面积等于位移（此题中为提升的高度）可知， $\frac{1}{2} \times 2 t_0 \times v_0=\frac{1}{2}\left[t_2+\left(t_2-t_0\right)\right] \times \frac{1}{2} v_0$ ，解得： $t_2=\frac{5 t_0}{2}$ ，所以第(1)次和第(2)次矿车上升所用时间之比为 $2 t_0: \frac{5 t_0}{2}=4: 5$, 选项 A 正确。由于两次提升过程变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，牛顿第二定律， $F-m g=m a$ ，可得电机的最大牵引力之比为 $1: 1$ ，选项B错误.

由功率公式， $P=F v$ ，电机输出的最大功率之比
等于最大速度之比，为 $2: 1$ ，选项C正确。
加速上升过程的加速度 $a_1=\frac{v_0}{t_0}$, 加速上升过程的
牵引力 $F_1=m a_1+m g=m\left(\frac{v_0}{t_0}+g\right)$, 减速上升过程的加速度 $a_2=-\frac{v_0}{t_0}$,减速上升过程的牵引力 $F_2=m a_2+m g=m\left(g-\frac{v_0}{t_0}\right)$, 匀速运动过程的牵引力 $F_3=m g$.
第(1)次提升过程做功 $W_1=F_1 \times \frac{1}{2} \times t_0 \times v_0+F_2 \times \frac{1}{2}$
$\times t_0 \times v_0=m g v_0 t_0$ ；第(2)次提升过程做功 $W_2=F_1$
$\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} t_0 \times \frac{1}{2} v_0+F_3 \times \frac{3}{2} t_0 \times \frac{1}{2} v_0+F_2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} t_0 \times \frac{1}{2} v_0=m g v_0 t_0$ ，两次做功相同，选项D错误。

`例` 质量为 $1.0 \times 10^3 kg$ 的汽车，沿倾角为 $30^{\circ}$ 的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为 2000 N ，汽车发动机的额定输出功率为 $5.6 \times 10^4 W$ ，开始时以 $a=1 m / s ^2$ 的加速度做匀加速运动 $( g$ 取 $10 m / s ^2$ ). 求:
(1)汽车做匀加速运动的时间；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，汽车从坡底到坡顶所需时间.

解：（1）由牛顿第二定律得

$$
F-m g \sin 30^{\circ}-F_{f}=m a
$$

设匀加速过程的末速度为 $v$ ，则有 $P=F v$ $v=a t_1$ ，解得 $t_1=7 s$.

（2）当达到最大速度 $v_m$ 时，加速度为零，
有 $F_{ m }=m g \sin 30^{\circ}+F_{ f }$
则有 $P=F_{ m } v_{ m }=\left(m g \sin 30^{\circ}+F_{ f }\right) v_{ m }$
解得 $v_{ m }=8 m / s$.

（3）汽车匀加速运动的位移 $x_1=\frac{1}{2} a t_1{ }^2$, 在后一阶段对汽车由动能定理得 $P t_2-\left(m g \sin 30^{\circ}+F_{ f }\right) x_2=\frac{1}{2} m v_{ m }{ }^2-\frac{1}{2} m v^2$

又有 $x=x_1+x_2$ ，解得 $t_2 \approx 15 s$
故汽车运动的总时间为 $t=t_1+t_2=22 s$.

`例` 12.一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数 1/v  和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力恒定，赛车到达终点前已达到最大速度.下列说法中正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/788984.jpg)
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2

解：由牛顿第二定律有 $\frac{P}{v}-F_{ f }=m a$, 可知赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，将公式整理得 $\frac{1}{v}=\frac{m}{P} a+$ $\frac{F_{ f }}{P}$ ，可见 $\frac{1}{v}-a$ 图像的斜率恒定为 $\frac{m}{P}$ ，与纵轴的截距为 $\frac{F_{ f }}{P}$, 可得 $\frac{F_{ f }}{P}=0.05 s / m , \frac{m}{P}=\frac{0.1-0.05}{20} s^3 / m ^2$, 解得 $m=25 kg, F_{ f }=$ 500 N , 将 $v=5 m / s$ 代入公式, 解得 $a=60 m / s ^2$, 故 C 正确, A、B D 错误。

`例`一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力 $F$ 随时间 $t$ 变化关系图线如图所示.若汽车的质量为 $1.2 \times 10^3 kg$ ，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是
A. 汽车的最大功率为 $5 \times 10^4 W$
B. 汽车匀加速运动阶段的加速度为 $\frac{25}{6} m / s ^2$
C. 汽车先做匀加速运动, 然后再做匀速直线运动
D. 汽车从静止开始运动 12 s 内的位移是 60 m
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 解：由图可知，汽车在前 4 s 内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动， $4 \sim 12 s$ 内汽车的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在 4 s 末汽车的功率达到最大值；汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力 $F_{ f }=2 \times 10^3 N$ ，前 4 s 内汽车的牵引力为 $F=5 \times 10^3 N$ ，由牛顿第二定律 $F-F_{ f }=m a$ 可得 $a=2.5 m / s ^2, 4 s$ 末汽车的速度 $v_1=a t_1=2.5 \times 4 m / s =10 m / s$ ，所以汽车的最大功率 $P=F v_1=$ $5 \times 10^3 \times 10 W=5 \times 10^4 W$ ，A正确，B、C错误；
 
 汽车在前 4 s 内的位移 $x_1=\frac{1}{2} a t_1{ }^2=\frac{1}{2} \times 2.5 \times 4^2 m=$ 20 m , 汽车的最大速度为 $v_{ m }=\frac{P}{F_{ f }}=\frac{5 \times 10^4}{2 \times 10^3} m / s =$ $25 m / s$, 汽车在 $4 \sim 12 s$ 内的位移设为 $x_2$, 根据动能定理可得 $P t-F_{ f } x_2=\frac{1}{2} m v_{ m }^2-\frac{1}{2} m v_1^2$, 代入数据可得 $x_2=42.5 m$, 所以汽车的总位移 $x=x_1+x_2=20 m+42.5 m=62.5 m, D$ 错误.

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