最后更新: 2025-05-02 09:02 查看: 269 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

机械能守恒定律

## 动能的表达式

大量实例说明, 物体动能的变化和力对物体做的功密切相关。因此, 研究物体的动能离不开对力做功的分析。这与上一节研究重力势能的思路是一致的。

质量为 $m$ 的某物体在光滑水平面上运动, 在与运动方向相同的恒力 $F$ 的作用下发生一段位移 $l$, 速度由 $v_1$ 增加到 $v_2$ (图 8.3-1)。
![图片](/uploads/2024-01/image_20240109e1693f5.png)
在这个过程中, 恒力 $F$ 做的功 $W=F l$, 根据牛顿第二定律, 有

$$
F=m a
$$

再根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式, 有

$$
l=\frac{v_2^2-v_1^2}{2 a}
$$

把 $F 、 l$ 的表达式代人 $W=F l$ 中, 可得 $F$ 做的功

$$
W=\frac{1}{2} m v_2{ }^2-\frac{1}{2} m v_1{ }^2
$$

从上式可以看出, “ $\frac{1}{2} m v^2$ ” 很可能是一个具有特定意义的物理量, 因为这个量在过程终了与过程开始时的差, 正好等于力对物体做的功。在物理学中就用 “ $\frac{1}{2} m v^2$ ” 这个量表示物体的动能 (kinetic energy), 用符号 $E_{\mathrm{k}}$ 表示。于是我们说, 质量为 $m$ 的物体, 以速度 $v$ 运动时的动能是

$$
E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m v^2
$$

动能是标量, 它的单位与功的单位相同, 在国际单位制中都是焦耳, 这是因为

$$
1 \mathrm{~kg}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})^2=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}=1 \mathrm{~J}
$$

## 动能定理

在得到动能的表达式后, $\frac{1}{2} m v_2{ }^2-\frac{1}{2} m v_1{ }^2$ 可以写成

$$
W=E_{\mathrm{k} 2}-E_{\mathrm{k} 1}
$$

其中 $E_{\mathrm{k} 2}$ 表示一个过程的末动能, $E_{\mathrm{k} 1}$ 表示这个过程的初动能。

> **这个关系表明, 力在一个过程中对物体做的功, 等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫作**动能定理** ( theorem of kinetic energy)。**

`例`如图 7–25 所示，长为 l 的轻质细绳下端悬挂一质量为 m 的小球，用大小为 F 的水平拉力将小球由静止开始从最低点 A 拉至 B 点，∠AOB = θ，在此过程中细绳始终绷直。若不计空气阻力，求小球到达 B 点时的速度大小 v。

![图片](/uploads/2025-05/5c6092.svg){width=200px}

分析：小球受到重力、水平拉力和绳子拉力的作用。小球运动过程中，重力做负功，水平拉力做正功，这些都是恒力的功，可以计算。而绳子拉力虽然是变力，但始终与小球的速度垂直，所以绳子拉力不做功。用动能定理可求出小球到达 B 点时的速度大小。

解：以小球为研究对象，小球在水平方向上的位移 $s=l \sin \theta$ ；在坚直方向的位移是

$$
h=l-l \cos \theta=l(1-\cos \theta)
$$

小球从 $A$ 点到 $B$ 点的运动过程中，水平拉力做正功，重力做负功。根据动能定理，水平拉力与重力做功的代数和等于动能变化量，可得

即

$$
\begin{gathered}
F s-m g h=\frac{1}{2} m v^2-0 \\
F l \sin \theta-m g l(1-\cos \theta)=\frac{1}{2} m v^2
\end{gathered}
$$

由此可得

$$
v=\sqrt{\frac{2 l}{m}[F \sin \theta-m g(1-\cos \theta)]}
$$

用动能定理解决问题的一般步骤为：（1）确定研究对象；（2）根据运动过程确定各力做功的情况；（3）确定物体初状态和末状态的动能；（4）根据已知条件列出表达式求得结果。

与牛顿运动定律一样，动能定理也是解决力与运动变化关系的重要规律。但由于动能定理不涉及加速度、时间等物理量，所以在处理过程较为复杂的运动问题时有明显的优越性。此外，动能定理也被广泛用来处理变力、冲击力等作用过程更为复杂的运动问题。

## 机械能守恒

在物理学的发展过程中，各种形式的能量概念先后建立起来。物理学家发现，不同形

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：机车启动问题

下一篇：应用动能定理求变力做功

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)