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力学定律
机械能守恒定律
日期:
2024-01-09 09:29
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机械能守恒定律
功 当力 $F$ 的方向与运动方向成某一角度时 (图 8.1-1),可以把力 $F$ 分解为两个分力: 与位移方向一致的分力 $F_1$,与位移方向垂直的分力 $F_2$ 。设物体在力 $F$ 的作用下发生的位移的大小是 $l$, 则分力 $F_1$ 所做的功等于 $F_1 l_{\circ}$ 分力 $F_2$ 的方向与位移的方向垂直, 物体在 $F_2$ 的方向上没有发生位移, $F_2$ 所做的功等于 0 。因此, 力 $F$ 对物体所做的功 $W$ 等于 $F_1 l$,而 $F_1=F \cos \alpha$, 所以 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240109887955e.png) $$ W=F l \cos \alpha $$ 这就是说,力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 功是标量。在国际单位制中, 功的单位是焦耳 (joule),简称焦, 符号是 $\mathrm{J} 。 1 \mathrm{~J}$ 等于 $1 \mathrm{~N}$ 的力使物体在力的方向上发生 $1 \mathrm{~m}$ 位移的过程中所做的功, 所以 $$ 1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m} $$ ## 功率 在物理学中, 做功的快慢用功率表示。如果从开始计时到时刻 $t$这段时间内, 力做的功为 $W$, 则功 $W$ 与完成这些功所用时间 $t$ 之比叫作功率 (power)。用 $P$ 表示功率, 则有 $$ P=\frac{W}{t} $$ 在国际单位制中, 功率的单位是瓦特 (watt), 简称瓦, 符号是 $\mathrm{W} 。 1 \mathrm{~W}=1 \mathrm{~J} / \mathrm{s}$ 。瓦这个单位比较小, 技术上常用干瓦 $(\mathrm{kW})$作功率的单位, $1 \mathrm{~kW}=1000 \mathrm{~W}$ 。力、位移、时间都与功率相联系,这种联系在技术上具有重要意义。 如果物体沿位移方向受的力是 $F$, 从计时开始到时刻 $t$ 这段时间内, 发生的位移是 $l$, 则力在这段时间内所做的功 $$ W=F l $$ 因此, 有 $$ P=\frac{W}{t}=\frac{F l}{t} $$ 由于位移 $l$ 是从开始计时到时刻 $t$ 这段时间内发生的,所以 $\frac{l}{t}$ 是物体在这段时间内的平均速度 $v$, 于是上式可以写成 $$ P=F v $$ 可见, 一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率,等于这个力与物体速度的乘积。 从以上推导过程来看, $P=F v$ 中的速度 $v$ 是物体在恒力 $F$ 作用下的平均速度, 所以这里的功率 $P$ 是指从计时开始到时刻 $t$ 的平均功率。如果时间间隔非常小, 上述平均速度就可以看作瞬时速度, 这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。 分析表明, 物体运动时, 重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关, 而跟物体运动的路径无关。也就是说, 只要起点和终点的位置不变, 不论物体沿什么路径运动, 重力所做的功都相同。功等于物体所受的重力跟起点高度的乘积 $m g h_1$ 与跟终点高度的乘积 $m g h_2$ 两者之差。 看起来, 物体所受的重力 $m g$ 与它所处位置的高度 $h$ 的乘积 $m g h$, 具有特殊的意义。 重力势能 $m g h$ 的特殊意义在于它一方面与重力做的功密切相关,另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加, 恰与前述重力势能的特征一致。因此, 我们把 $m g h$ 叫作物体的重力势能 ( gravitational potential energy), 常用 $E_{\mathrm{p}}$ 表示, 即 $$ E_{\mathrm{p}}=m g h $$ 与其他形式的能一样, 重力势能也是标量, 其单位与功的单位相同, 在国际单位制中都是焦耳, 符号为 $\mathrm{J}$ 。 $$ 1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{m}=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m} $$ 有了重力势能的表达式, 重力做的功与重力势能的关系可以写为 $$ W_{\mathrm{G}}=E_{\mathrm{p} 1}-E_{\mathrm{p} 2} $$ 其中 $E_{\mathrm{p} 1}$ 表示物体在初位置的重力势能, $E_{\mathrm{p} 2}$ 表示物体在末位置的重力势能。 当物体由高处运动到低处时, 重力做正功, 重力势能减少, 即 $$ W_{\mathrm{G}}>0, E_{\mathrm{p} 1}>E_{\mathrm{p} 2} $$ 当物体由低处运动到高处时 (图 8.2-2), 重力做负功,重力势能增加, 即 $$ W_{\mathrm{G}}<0, \quad E_{\mathrm{p} 1}<E_{\mathrm{p} 2} $$ ## 动能的表达式 大量实例说明, 物体动能的变化和力对物体做的功密切相关。因此, 研究物体的动能离不开对力做功的分析。这与上一节研究重力势能的思路是一致的。 质量为 $m$ 的某物体在光滑水平面上运动, 在与运动方向相同的恒力 $F$ 的作用下发生一段位移 $l$, 速度由 $v_1$ 增加到 $v_2$ (图 8.3-1)。 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240109e1693f5.png) 在这个过程中, 恒力 $F$ 做的功 $W=F l$, 根据牛顿第二定律, 有 $$ F=m a $$ 再根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式, 有 $$ l=\frac{v_2^2-v_1^2}{2 a} $$ 把 $F 、 l$ 的表达式代人 $W=F l$ 中, 可得 $F$ 做的功 $$ W=\frac{1}{2} m v_2{ }^2-\frac{1}{2} m v_1{ }^2 $$ 从上式可以看出, “ $\frac{1}{2} m v^2$ ” 很可能是一个具有特定意义的物理量, 因为这个量在过程终了与过程开始时的差, 正好等于力对物体做的功。在物理学中就用 “ $\frac{1}{2} m v^2$ ” 这个量表示物体的动能 (kinetic energy), 用符号 $E_{\mathrm{k}}$ 表示。于是我们说, 质量为 $m$ 的物体, 以速度 $v$ 运动时的动能是 $$ E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m v^2 $$ 动能是标量, 它的单位与功的单位相同, 在国际单位制中都是焦耳, 这是因为 $$ 1 \mathrm{~kg}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})^2=1 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}=1 \mathrm{~J} $$ ## 动能定理 在得到动能的表达式后, $\frac{1}{2} m v_2{ }^2-\frac{1}{2} m v_1{ }^2$ 可以写成 $$ W=E_{\mathrm{k} 2}-E_{\mathrm{k} 1} $$ 其中 $E_{\mathrm{k} 2}$ 表示一个过程的末动能, $E_{\mathrm{k} 1}$ 表示这个过程的初动能。 这个关系表明, 力在一个过程中对物体做的功, 等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫作动能定理 ( theorem of kinetic energy)。 ## 机械能守恒 同样可以证明, 在只有弹力做功的系统内, 动能和弹性势能互相转化时总的机械能也保持不变。在只有重力或弹力做功的物体系统内, 动能与势能可以互相转化, 而总的机械能保持不变。这叫作机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy)。它是力学中的一条重要定律, 是普遍的能量守恒定律在力学范围内的表现形式。如图 8.4-4, 滑雪者沿斜面下滑时, 斜面的支持力与运动方向垂直, 不做功; 如果阻力做的功较少, 可以忽略, 则只有重力做功。此种情况下, 动能与重力势能可以互相转化,总的机械能守恒。如果阻力做的功较大, 不能忽略, 则机械能不守恒。
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