最后更新: 2025-05-22 18:53 查看: 553 次反馈同步训练

空间向量的坐标表示

## 空间向量的坐标表示
模仿平面的情况，设 $\vec{i} 、 \vec{j} 、 \vec{k}$ 分别是 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向的单位向量．由于三个坐标轴两两互相垂直，因此这些向量之间的数量积为

$$
\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2=1, \quad \vec{i} \cdot \vec{j}=\vec{j} \cdot \vec{k}=\vec{k} \cdot \vec{i}=0
$$

给定任意一个向量 $\vec{p}$ ．我们先通过平移把 $\vec{p}$ 的起点放到坐标原点 $O$ ，这时得到的向量 $\overrightarrow{O P}$ 称为 $\vec{p}$ 的位置向量．设 $\overrightarrow{O P}$ 的终点坐标是 $P(x, y, z)$ ，则直接记 $\vec{p}=(x, y, z)$ ，并称向量的这种表示法为它的坐标表示．

![图片](/uploads/2025-05/1d101a.jpg){width=300px}

从上图可以看出， $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D P}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$ ，而根据点的坐标的定义， $\overrightarrow{O A}=x \vec{i}, \overrightarrow{O B}=y \vec{j}, \overrightarrow{O C}=z \vec{k}$ ，所以 $\vec{p}=(x, y, z)$ 的实际含义是

$$
\vec{p}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
$$

有了这个表达式，就可以像平面向量那样推知向量的坐标运算。

## 向量的坐标运算

如果 $\left(x_1, y_1, z_1\right) 、\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 与 $(x, y, z)$ 是坐标表示的向量，$\lambda$ 是实数，那么

$$
\begin{aligned}
\left(x_1, y_1, z_1\right) \pm\left(x_2, y_2, z_2\right) & =\left(x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2\right), \\
\lambda(x, y, z) & =(\lambda x, \lambda y, \lambda z) .
\end{aligned}
$$

> 这说明：把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），等于把它们的对应坐标相加（减）；一个实数乘一个向量，等于把这个实数乘它的坐标。

## 向量的内积
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．

设 $\{ i , j , k \}$ 为空间的一个单位正交基底，则

$$
a =a_1 i +a_2 j +a_3 k , b =b_1 i +b_2 j +b_3 k ,
$$

所以

$$
{
a \cdot b =\left(a_1 i +a_2 j +a_3 k \right) \cdot\left(b_1 i +b_2 j +b_3 k \right) .
}
$$

利用向量

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