最后更新: 2025-12-02 17:18 查看: 680 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

判断三向量共面★★★★★

## 共面向量
空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，什么情况下三个空间向量共面呢？

如图 2.3-1, 在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $\overrightarrow{A_1 B_1}=\overrightarrow{A B}$, $\overrightarrow{A_1 D_1}=\overrightarrow{A D}$, 而 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C}$ 在同一平面内, 此时, 我们称 $\overrightarrow{A_1 B_1}, \overrightarrow{A_1 D_1}, \overrightarrow{A C}$ 共面.
 ![图片](/uploads/2024-12/15d4e3.jpg)
 
 > **一般地, 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量**.

对于空间两个不共线向量 $e _1, e _2$, 若空间任意一个向量 $p$与 $e _1, e _2$ 共面, 则 $p , e _1, e _2$ 这三个向量之间存在怎样的关系呢?

对于空间三个向量 $p , e _1, e _2\left( e _1, e _2\right.$ 不共线), 当 $p , e _1, e _2$ 共面时, 根据平面向量基本定理, 存在唯一的有序实数组 $(x, y)$, 使得

$$
p =x e _1+y e _2 .
$$

反过来, 对于空间三个向量 $p, e_1, e_2$, 其中 $e_1, e_2$ 不共线, 如果存在有序实数组 $(x, y)$, 使得 $p =x e _1+y e _2$, 那么向量 $p$ 与 $e _1, e _2$ 共面吗?

在空间中任取一点 $M$ ，作

$$
\overrightarrow{M A}= e _1, \overrightarrow{M B}= e _2, \overrightarrow{M A_1}=x e _1 .
$$

过点 $A_1$ 作 $\overrightarrow{A_1 P}=y e_2$ （图 2.3-2），则

$$
\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{M A_1}+\overrightarrow{A_1 P}=x e _1+y e _2= p .
$$

所以点 $P$ 在平面 $M A B$ 内, 从而 $\overrightarrow{M P}, \overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}$ 共面, 即向量 $p$ 与向量 $e _1, e _2$共面.
 ![图片](/uploads/2024-12/31d688.jpg)
 
 这样, 我们得到以下结论:

> 如果两个向量 $e_1, e_2$ 不共线, 那么向量 $p$ 与向量 $e_1, e_2$ 共面的充要条件是存在有序实数组 $(x, y)$ ，使得 $p =x e _1+y e _2$

这就是说，向量 $p$ 可以用两个不共线的向量 $e _1, e _2$ 线性表示.

特别的，在三个向量 $a , b , c$ 中, 某个向量为 $0$, 或者某两个向量平行, 则这三个向量共面.

`例` 在三棱锥 $P-A B C$ 中，点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心，点 $D, E, F$ 分别为侧棱 $P A$ ， $P B, P C$ 的中点，若 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{CE}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=$

【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解．
 解：取 $B C$ 中点为 $M$ ，如图所示：
 ![图片](/uploads/2025-12/b762c6.jpg)
 
则 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{\mathrm{PF}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PC}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ ，

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{PE}}-\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{~PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PC}} \\
& \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}
\end{aligned}
$$

相加可得 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}) \Rightarrow \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=-2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ ，
所以 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=-\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AM}}=-\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}

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