最后更新: 2025-04-06 08:38 查看: 608 次反馈同步训练

空间向量的加法与减法

## 空间向量的加法

空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量 $a , b$, 在空间中任取一点 $A$, 作 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A C}= b$, 以 $A B, A C$ 为邻边作一个平行四边形 $A B D C$, 作出向量 $\overrightarrow{A D}$, 则 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$

如下图的长方体中,

$$
\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{B_1 C_1}=\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D_1}
$$

![图片](/uploads/2024-12/0fc538.jpg)

`例` 如图 所示是一个平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 化简

$$
\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_202311040226060.png)

解 因为底面 $A B C D$ 是一个平行四边形,所以 $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D B}$, 又因为 $\overrightarrow{D D_1}=\overrightarrow{B B_1}$,所以

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} & =\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B B_1} \\
& =2
\end{aligned}
$$

不难看出, 空间向量的加法也满足交换律和结合律, 即对于任意的向量 $a, b, c$, 都有

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}, \\
& (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_2023110470fa0d2.png)

## 空间向量减法
在空间中任取一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 作出向量 $\overrightarrow{B A}$, 则向量 $\overrightarrow{B A}$就是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差 (也称 $\overrightarrow{B A}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差向量), 即

$$
\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A} \text {. }
$$

当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时, 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形, 因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.

例如下图所示

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