最后更新: 2025-04-06 07:59 查看: 353 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

空间向量基本定理

## 共面向量
空间中任意两个向量总是共面的，但空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，什么情况下三个空间向量共面呢？

如图 2.3-1, 在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $\overrightarrow{A_1 B_1}=\overrightarrow{A B}$, $\overrightarrow{A_1 D_1}=\overrightarrow{A D}$, 而 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C}$ 在同一平面内, 此时, 我们称 $\overrightarrow{A_1 B_1}, \overrightarrow{A_1 D_1}, \overrightarrow{A C}$ 共面.
 ![图片](/uploads/2024-12/15d4e3.jpg)
 
 一般地, **能平移到同一平面内的向量叫作共面向量**.
对于空间两个不共线向量 $e _1, e _2$, 若空间任意一个向量 $p$与 $e _1, e _2$ 共面, 则 $p , e _1, e _2$ 这三个向量之间存在怎样的关系呢?
对于空间三个向量 $p , e _1, e _2\left( e _1, e _2\right.$ 不共线), 当 $p , e _1, e _2$ 共面时, 根据平面向量基本定理, 存在唯一的有序实数组 $(x, y)$, 使得

$$
p =x e _1+y e _2 .
$$

反过来, 对于空间三个向量 $p, e_1, e_2$, 其中 $e_1, e_2$ 不共线, 如果存在有序实数组 $(x, y)$, 使得 $p =x e _1+y e _2$, 那么向量 $p$ 与 $e _1, e _2$ 共面吗?
在空间中任取一点 $M$ ，作

$$
\overrightarrow{M A}= e _1, \overrightarrow{M B}= e _2, \overrightarrow{M A_1}=x e _1 .
$$

过点 $A_1$ 作 $\overrightarrow{A_1 P}=y e_2$ （图 2.3-2），则

图2.3-2

$$
\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{M A_1}+\overrightarrow{A_1 P}=x e _1+y e _2= p .
$$

所以点 $P$ 在平面 $M A B$ 内, 从而 $\overrightarrow{M P}, \overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}$ 共面, 即向量 $p$ 与向量 $e _1, e _2$共面.
 ![图片](/uploads/2024-12/31d688.jpg)
 
 这样, 我们得到以下结论:
如果两个向量 $e_1, e_2$ 不共线, 那么向量 $p$ 与向量 $e_1, e_2$ 共面的充要条件是存在有序实数组 $(x, y)$ ，使得

$$
p =x e _1+y e _2 .
$$

这就是说，向量 $p$ 可以用两个不共线的向量 $e _1, e _2$ 线性表示.
在三个向量 $a , b , c$ 中, 某个向量为 $0$, 或者某两个向量平行, 则这三个向量共面.

## 空间向量基本定理

空间向量基本定理

> **如果 $\vec{e}_1, ~ \overrightarrow{e_2}$ 与 $\vec{e}_3$ 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量 $\vec{a}$ ，存在唯一的一组实数 $\lambda, ~ \mu$与 $\nu$ ，使得
$\vec{a}=\lambda \overrightarrow{e_1}+\mu \overrightarrow{e_2}+\nu \overrightarrow{e_3} $**

### 证明
 ![图片](/uploads/2025-04/9db3bb.jpg)

如图，在空间任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{e_2}$ ， $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{e_3}, \overrightarrow{O P}=\vec{a} . O A$ 与 $O B$ 是不重合的相交直线，它们确定了一个平面 $\alpha$ ；$O C$ 与 $O P$ 是不重合的相交直线，它们也确定一个平面 $\beta$ ．平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 不重合（否则 $\overrightarrow{e_1}, ~ \overrightarrow{e_2}$ 与 $\overrightarrow{e_3}$ 共面），但有公共点 $O$ ，所以它们有唯一的交线 $l$ ．在 $l$ 上任取一个非零向量 $\vec{b}$ ，则 $\vec{b}$与 $\vec{e}_3$ 不共线．

根据向量共面的充要条件，在平面 $\alpha$ 上，向量 $\vec{b}$ 是 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ （即 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ ）的线性组合；在平面 $\beta$ 上，向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 与 $\overrightarrow{O C}$（即 $\overrightarrow{e_3} $） 的线性组合．于是，向量 $\vec{a}$ 是向量 $\overrightarrow{e_1}, ~ \overrightarrow{e_2}$ 与 $\overrightarrow{e_3}$ 的线性组合．

再证线性组合的唯一性。
设 $\vec{a}=\lambda \overrightarrow{e_1}+\mu \overrightarrow{e_2}+\nu \overrightarrow{e_3}=\lambda^{\prime} \overrightarrow{e_1}+\mu^{\prime} \overrightarrow{e_2}+\nu^{\prime} \overrightarrow{e_3}$ ，则

$$
\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right) \overrightarrow{e_1}+\left(\mu-\mu^{\prime}\right) \overrightarrow{e_2}+\left(\nu-\nu^{\prime}\right) \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{0} .
$$

如果此式左边三个系数中有一个（比如 $\lambda-\lambda^{\prime}$ ）非零，那么

$$
\overrightarrow{e_1}=-\frac{\mu-\mu^{\prime}}{\lambda-\lambda^{\prime}} \overrightarrow{e_2}-\frac{\nu-\nu^{\prime}}{\lambda-\lambda^{\prime}} \overrightarrow{3_3},
$$

这与 $\vec{e}_1, ~ \overrightarrow{e_2}$ 与 $\vec{e}_3$ 不共面矛盾．所以三个系数必须全为零，则 $\lambda=$ $\lambda^{\prime}, \mu=\mu^{\prime}, \nu=\nu^{\prime}$ ．所以，线性组合是唯一的．

`例`给定一个基底 $\left\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\right\}$ 且 $\vec{a}=4 \vec{e}_1-\vec{e}_2+3 \vec{e}_3, \vec{b}=-12 \vec{e}_1+3 \vec{e}_2-9 \vec{e}_3$,问 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是否平行。
解: 因为 $\frac{-12}{4}=\frac{3}{-1}=\frac{-9}{3}=-3$, 所以:

$$
\vec{b}=-3 \vec{a}, \quad \vec{a} / / \vec{b}
$$

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