最后更新: 2025-12-02 13:16 查看: 592 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量基本定理

## 空间向量基本定理

空间向量基本定理想表达什么意思？其实很简单，就是空间里用不共面的3个向量做一个坐标系(基)，那么空间里的任何一个向量都可以使用者3个向量唯一线性表示。这个其实和平面向量定理是一个意思。

> **如果 $\boldsymbol{e}_1, ~ \boldsymbol{e_2}$ 与 $\boldsymbol{e}_3$ 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量 $\vec{a}$ ，存在唯一的一组实数 $\lambda, ~ \mu$与 $\nu$ ，使得
$\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{e_1}+\mu \boldsymbol{e_2}+\nu \boldsymbol{e_3} $**

上面的通俗解释，用 $\boldsymbol{e}_1, ~ \boldsymbol{e_2} , \boldsymbol{e}_3$ 构建一个三维坐标系(这3个向量不一定非要互相垂直)，那么任何一个向量 $\boldsymbol{a}$ 在这个坐标系下的坐标是 $(\lambda,  \mu , \nu)$ ,这种表示是存在且唯一的。

### 证明
给定空间三个不共面的向量 $\overrightarrow{O A}、\overrightarrow{O B}、\overrightarrow{O C}$ 多次使用平行四边形法则，可以得到 $\overrightarrow{O P}$ ，且这种表达是唯一的，具体证明略。

![图片](/uploads/2025-12/b7a0d1.jpg){width=300px}

由此得到下面结论：**空间向量基本定理** 如果三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 不共面，那么对空间任一向量 $\boldsymbol{p}$ ，存在唯一的有序数组 $(x, y, z)$ ，使得

$$
\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c} .
$$

我们把 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 叫作空间的一个**基底**（base）， $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 都叫作基向量（base vectors）。显然，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（并不一定非要互相垂直）．

`例`  在平行六面体 $O A B C-O^{\prime} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中， $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O O^{\prime}}=\boldsymbol{c}$ ，点 $M, N$ 分别是 $O O^{\prime}, A C$ 的中点。分别求以下向量关于基底 $\{\boldsymbol{a}

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【高等数学】空间直线方程及参数方程【高中数学】平面向量基本定理

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