最后更新: 2025-12-02 13:17 查看: 614 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量的坐标表示

## 空间直角坐标系
如图 3－3－1，在正方体中，总可以找到从一个顶点出发的三条两两互相垂直的棱，如 $A B, ~ A D$ 与 $A A_1$ 。受此启示，从空间一点 $O$ 出发，可以作三条两两互相垂直的坐标轴，建立空间直角坐标系 $O-x y z$（图 3－3－2）．
 ![图片](/uploads/2025-04/d177ff.jpg)
 
 点 $O$ 叫做**坐标原点**，三条坐标轴分别是横轴（即 $x$ 轴），纵轴（即 $y$ 轴）与坚轴（即 $z$ 轴）。我们约定坐标系采用**右手制**，即右手翘起拇指，其他四指握拳做＂点赞＂状，当四指所指的方向是 $x$ 轴正方向到 $y$ 轴正方向的旋转方向时，拇指所指为 $z$ 轴正方向 （图3－3－3）．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 $x O y$ 平面，$y O z$ 平面与 $z O x$ 平面．三个坐标平面把空间划分成八个部分，每个部分称为一个**卦限** （图 3－3－4）．
  ![图片](/uploads/2025-04/6feba0.jpg)

给定空间一点 $P$ ，如图 3－3－5，过点 $P$ 分别作与坐标平面 $y O z, ~ z O x$ 与 $x O y$ 平行的平面，与坐标平面一起围出一个长方体，所作的三个平面与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的交点 $A, ~ B, ~ C$（它们都是上述长方体的顶点）在轴上的坐标，给出了点 $P$ 的坐标 $(x, y,z)$ ，其中 $x, ~ y$ 与 $z$ 分别称为点 $P$ 的**横坐标**，**纵坐标**与**坚坐标**．

> **有了空间直角坐标系，空间中的点与实数的有序三元组就建立了一一对应．**

如图$P$可以用$(x,y,z)$ 表示

![图片](/uploads/2025-04/896d02.jpg)
 
## 向量的坐标表示

给定一个空间直角坐标系 $O x y z$ 和向量 $\boldsymbol{a}$ ，设 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 分别为与 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴方向相同的单位向量（如图）。
 
 ![img-text](/uploads/2025-12/cf8b60.jpg)
 
 由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$ ，使

$$
\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
$$

有序数组 $(x, y, z)$ 叫作向量 $\boldsymbol{a}$ 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中的坐标，记作 $\boldsymbol{a}=(x, y, z)$ 。

显然，$x \boldsymbol{i}, y \boldsymbol{j}, z \boldsymbol{k}$ 分别为向量 $\boldsymbol{a}$ 向向量 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 的投影向量，且 $x=a \cdot i, y=a \cdot j, z=a \cdot k$ 。

在空间直角坐标系 $O x y z$ 中（如图 ），空间的任一点 $P(x, y, z)$ 对应一个向量：

$$
\overrightarrow{O P}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k} .
$$

由此可知，向量 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标就是点 $P$ 的坐标．
 
 
 
## 向量的数量积

> 空间向量的数量积(内积)和平面一样，这里不再重复

对于空间两个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，我们把 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$ 叫作 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积，记作 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ，即

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle .
$$

规定：零向量与任何向量的数量积为 0 ．
空间向量的数量积具有如下性质：
（1） $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ；
（2）$|\boldsymbol{a}|^2=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}$ ．
空间向量的数量积满足如下运算律：
（1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ ；
（2） $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ ；
（3）$(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \cdot(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ ．

`例` 如图

其他版本
【高中数学】空间的直线方程与球面方程

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