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高中数学
第十三章：立体几何
向量的内积
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2023-11-04 07:53
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向量的内积
**向量的夹角** 空间内, 给定两个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$, 任意在平面内选定一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 则大小在 $[0, \pi]$ 内的 $\angle A O B$ 称为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角, 记作 $\langle a, b\rangle$. 特别地, 如果 $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$, 则称向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$垂直, 记作 $a \perp b$; 为了方便起见, 仍约定零向量与任意向量都垂直. **向量的内积** 两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积（也称为内积）定义为 $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle . $$ 而且, 两个向量数量积的几何意义与投影有关,如图所示, 过 $\boldsymbol{a}$ 的始点和终点分别向 $\boldsymbol{b}$ 所在的直线作垂线, 即可得到向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影 $a^{\prime}, a$ 与 $b$ 的数量积等于 $a$ 在 $b$ 上的投影 $a^{\prime}$ 的数量与 $\boldsymbol{b}$ 的长度的乘积. 特别地, $\boldsymbol{a}$ 与单位向量 $\boldsymbol{e}$的数量积等于 $a$ 在 $e$ 上的投影 $a^{\prime}$ 的数量. 规定零向量与任意向量的数量积为０ 
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