最后更新: 2024-12-14 14:03 ● 参与者查看: 84 次纠错分享参与项目词条搜索

系统机械能守恒问题

1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒.一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒.
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式.

2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景

![图片](/uploads/2024-12/971ab0.jpg)
 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化.

(2)角速度相等情景
 ![图片](/uploads/2024-12/bae57d.jpg)
 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒.
②由v＝ωr知，v与r成正比.

(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
 ![图片](/uploads/2024-12/5d6790.jpg)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等.

(4)含弹簧的系统机械能守恒问题
①由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒. 
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.
③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等.

`例` 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍.当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高.将A由静止释放，B上升的最大高度是
 ![图片](/uploads/2024-12/c2fa2e.jpg)
 A. $2 R$
B. $\frac{5 R}{3}$
C. $\frac{4 R}{3}$
D. $\frac{2 R}{3}$

解：设 $B$ 球的质量为 $m$, 则 $A$ 球的质量为 $2 m, A$ 球刚落地时, 两球速度大小都为 $v$, 根据机械能守恒定律得 $2 m g R=\frac{1}{2} \times(2 m+m) v^2+m g R, B$球继续上升的过程由动能定理可得 $-m g h=0-\frac{1}{2} m v^2$,联立解得 $h=\frac{R}{3}, B$ 球上升的最大高度为 $h+R=\frac{4}{3} R$,故选 C.

多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题.

`例`轮轴机械是中国古代制陶的主要工具.如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由转动，其轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取10 m/s2.在P从静止下降1.2 m的过程中，下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/94225e.jpg)
A.P、Q速度大小始终相等
B.Q上升的距离为0.6 m
C.P下降1.2 m时Q的速度大小为2      m/s
D.P下降1.2 m时的速度大小为4 m/s

解：由题意知轮半径 $R=20 cm$, 轴半径 $r=10 cm$, 根据线速度与角速度关系可知 $\frac{v_Q}{v_Q}=\frac{\omega R}{\omega r}=\frac{2}{1}$ ，故 A 项错误；
在 $P$ 从静止下降 1.2 m 的过程中, 由题意得 $\frac{h_P}{h_Q}=\frac{v_P t}{v_Q t}=\frac{2}{1}$,
解得 $h_Q=0.6 m$, 故 B 项正确;
根据机械能守恒得 $m_P g h_P=\frac{1}{2} m_{P v}{ }^2+\frac{1}{2} m_{Q v} Q^2+m_Q g h_Q$, 由 A 项和 B 项知 $\frac{v_P}{v_Q}=\frac{2}{1}, h_Q=0.6 m$, 解得 $v_Q=2 m / s , v_P=4 m / s$, 故 C 项错误, D项正确.

`例`(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/1374a9.jpg)
A.小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B.小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势
　能之和可能增大
C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D.小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大

解：在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；
由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；

小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；
D点为小球运动的最低点，速度为零，小球机械能最小，由小球和弹簧组成的系统运动过程中只有重力做功，系
统机械能守恒，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确.

`例` 如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆M、N，两杆无限接近但不接触，两杆间的距离可忽略不计.两个小球a、b(可视为质点)的质量相等，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，a、b通过铰链用长度为L＝0.5 m的刚性轻杆连接，将a球从图示位置由静止释放(轻杆与N杆的夹角为θ＝53°)，不计一切摩擦，已知
重力加速度的大小为g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°
＝0.6.在此后的运动过程中，下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/e34a27.jpg)
 A. $a$ 球下落过程中，其加速度大小始终不大于 $g$
B. $a$ 球由静止下落 0.15 m 时， $a$ 球的速度大小为 $1.5 m / s$
C. $b$ 球的最大速度为 $3 \sqrt{2} m / s$
D. $a$ 球的最大速度为 $2 \sqrt{2} m / s$
解：a球和b球所组成的系统只有重力做功，则系统机械能守
恒，以b球为研究对象，b球的初速度为零，当a球运动
到两杆的交点时，球在水平方向上的分速度为零，所以
b球此时的速度也为零，由此可知从a球释放至a球运动到
两杆的交点过程中，b球速度是先增大再减小，当b球速度减小时，轻杆对a、b都表现为拉力，对a分析，此时拉力在竖直方向上的分力与a的重力方向相同，则此时其加速度大小大于g，故A错误；

由机械能守恒得 $m g \Delta h=\frac{1}{2} m v_a^2+\frac{1}{2} m v b^2$, 当 $a$ 下落 $\Delta h=$ 0.15 m 时，由几何关系可知轻杆与 $N$ 杆的夹角 $\alpha=30^{\circ}$ ，此时 $v_a \sin \alpha=v_b \cos \alpha$, 联立解得 $v_a=1.5 m / s$, 故 B 正确;当 $a$ 球运动到两杆的交点后再向下运动 $L$ 距离, 此时 $b$达到两杆的交点处， $a$ 的速度为零， $b$ 的速度最大，设为 $v_{b m}$ ，由机械能守恒得 $m g(L+L \sin \theta)=\frac{1}{2} m v_{b m}{ }^2$, 解得 $v_{b m}=3 \sqrt{2} m / s$, 故 C 正确;

$a$ 球运动到两杆的交点处, $b$ 的速度为零, 设此时 $a$的速度为 $v_{a 0}$, 由机械能守恒得 $m g L \sin \theta=\frac{1}{2} m v_{a 0}{ }^2$,解得 $v_{a 0}=2 \sqrt{2} m / s$, 此时 $a$ 球的加速度大小为 $g$,且方向坚直向下，与速度方向相同， $a$ 球会继续向下加速运动，速度会大于 $2 \sqrt{2} m / s$ ，故 D 错误。

上一篇：单物体机械能守恒问题

下一篇：功能关系的理解和应用

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)