最后更新: 2024-12-14 13:57 ● 参与者查看: 25 次纠错分享参与项目词条搜索

单物体机械能守恒问题

1.表达式

![图片](/uploads/2024-12/95292b.jpg)
 
 2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
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 `例` 固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积

解：如图所示, 设小环下降的高度为 $h$, 大圆环的半径为 $R$, 小环到 $P$ 点的距离为 $L$ ，根据机械能守恒定律得 $m g h=\frac{1}{2} m v^2$ ，由几何关系可得 $h=L \sin \theta, \sin \theta=\frac{L}{2 R}$, 联立可得 $h=\frac{L^2}{2 R}$,则 $v=L \sqrt{\frac{g}{R}}$, 故 C 正确, $A 、 B 、 D$ 错误。
 ![图片](/uploads/2024-12/de33ad.jpg)
 
 `例`如图所示，坚直平面内由倾角 $\alpha=60^{\circ}$ 的斜面轨道 $A B$ 、半径均为 $R$ 的半圆形细圆管轨道 $B C D E$ 和  1/6 圆周细圆管轨道 $E F G$ 构成一游戏装置固定于地面， $B 、 E$ 两处轨道平滑连接，轨道所在平面与坚直墙面垂直.轨道出口处 $G$ 和圆心 $O_2$ 的连线，以及 $O_2 、 E 、 O_1$ 和 $B$ 等四点连成的直线与水平线间的夹角均为 $\theta=30^{\circ}$ ，
$G$ 点与坚直墙面的距离 $d=\sqrt{3} R$. 现将质量为 $m$ 的小球从斜面的某高度 $h$ 处静止释放，小球只有与坚直
墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
 
  ![图片](/uploads/2024-12/5d911e.jpg)

(1)若释放处高度 $h=h_0$ ，当小球第一次运动到圆管最低点 $C$ 时，求速度大小 $v_C$ ；

(2)求小球在圆管内与圆心 $O_1$ 点等高的 $D$ 点所受弹力 $F_{ N }$ 与 $h$ 的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？

解：（1）从 $A$ 到 $C$ ，小球的机械能守恒，有 $m g h_0=\frac{1}{2} m v c^2$, 可得 $v_C=\sqrt{2 g h_0}$

（2）小球从 $A$ 到 $D$ ，由机械能守恒定律有

$$
m g(h-R)=\frac{1}{2} m v_D^2
$$

根据牛顿第二定律有 $F_{ N }=\frac{m v_D{ }^2}{R}$
联立可得 $F_{ N }=2 m g\left(\frac{h}{R}-1\right)$
满足的条件 $h \geqslant R$

（3）第1种情况：不滑离轨道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时 $h$需满足的条件是

$$
h \leqslant R+3 R \sin \theta=\frac{5}{2} R
$$

第2种情况：小球与墙面垂直碰撞后原路返回，小球与墙面碰撞后，进入 $G$ 前做平抛运动，则 $v_x t=v_x \frac{v_y}{g}=d$ ，其中 $v_x=v_G \sin \theta, v_y=v_G \cos \theta$故有 $v_G \sin \theta \cdot \frac{v_G \cos \theta}{g}=d$, 可得 $v_G=2 \sqrt{g R}$
由机械能守恒定律有 $m g\left(h-\frac{5}{2} R\right)=\frac{1}{2} m v_G{ }^2$可得 $h=\frac{9}{2} R$.

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