最后更新: 2024-12-14 18:32 ● 参与者查看: 24 次纠错分享参与项目词条搜索

多运动组合问题

1.分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解.

2.方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案.

`例`某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道BCDE，左侧为半径R＝0.8 m的光滑圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α＝30°，圆弧轨道与粗糙水平轨道CD相切于点C，DE为倾角θ＝30°的光滑倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上.现有质量为m＝1 kg的小滑块P(可视为质点)从空中的A点以v0＝$\sqrt{2}$    m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点(不计经过D点时的能量损失)后沿倾斜轨道向上运动至F点(图中未标出)，弹簧恰好压缩
至最短.已知C、D之间和D、F之间距离都为1 m，滑块与轨道CD间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，
不计空气阻力.求：
 ![图片](/uploads/2024-12/d2971f.jpg)
 
 (1)小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小；
(2)小滑块P到达圆弧轨道上的C点时对轨道压力的大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值；
(4)试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出B点的速度大小；若不能，判断滑块最后位于何处.

解：（1）设滑块 $P$ 经过 $B$ 点的速度大小为 $v_B$, 由平拋运动知识有 $v_0=v_B \sin 30^{\circ}$,得 $v_B=2 \sqrt{2} m / s$

（2）滑块 $P$ 从 $B$ 点到达最低点 $C$ 点的过程中，由机械能守恒定律得

$$
m g\left(R+R \sin 30^{\circ}\right)+\frac{1}{2} m v_B^2=\frac{1}{2} m v_C^2
$$

解得 $v_C=4 \sqrt{2} m / s$
经过 $C$ 点时受轨道的支持力大小为 $F_{ N }$,
有 $F_{ N }-m g=m \frac{v C^2}{R}$ ，解得 $F_{ N }=50 N$
由牛顿第三定律可得滑块在 $C$ 点时对轨道的压力大小 $F_{\text {压 }}=50 N$

（3）设弹簧的弹性势能最大值为 $E_{ pm }$, 滑块从 $C$ 点到 $F$ 点的过程中, 根据动能定理有 $-\mu m g L_{C D}-m g L_{D F} \sin 30^{\circ}-E_{ pm }=0-\frac{1}{2} m v c^2$, 代入数据可解得 $E_{ pm }=6 J$

（4）设滑块返回时能上升的高度为 $h$, 根据动能定理有 $m g L_{D F} \operatorname{Sin} 30^{\circ}+E_{ pm }$ $-\mu m g L_{C D}=m g h$, 代入数据可解得 $h=0.6 m$, 因为 $h<R$, 故无法从 $B$点离开, 又 $\frac{1}{2} m v_c{ }^2=\mu m g x$, 代入数据可解得 $x=3.2 m=3 L_{C D}+0.2 m$,滑块最后静止时的位置离 $D$ 点 0.2 m (或离 $C$ 点 0.8 m ).

`例` 如图所示，AB、FG均为半径R＝0.45 m的四分之一光滑圆弧轨道，半径O1B、O2F均竖直，C点在B点的正下方，C、D两点在同一高度上，DE为倾角θ＝53°、长度L1＝2 m的粗糙斜轨道，EF为粗糙水平直轨道.一物块(视为质点)从A点由静止滑下，从B点水平飞出后恰好落到D点，并且物块落到D点时的速度方向与DE轨道平行，物块经过EF轨道后恰好能到达G点.物块与DE、EF两轨道间的动摩擦因数均为μ＝ 1/3 ，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计物块经过E点的能量损失，不计空气阻力.求：(sin 53°＝0.8，结果可保留分数)
 ![图片](/uploads/2024-12/989ba2.jpg)
 (1)C、D两点间的距离x；
(2)物块从B点运动到E点的时间t；
(3)EF轨道的长度L2以及物块最后停止的位置到F点的距离s.

解（1）物块从 $A$ 点由静止滑到 $B$ 点, 由机械能守恒定律则有 $m g R=\frac{1}{2} m v_B{ }^2$, 解得 $v_B=$ $3 m / s$
物块从 $B$ 到 $D$ 做平抛运动, 由速度的合成与分解可知, 物块在 $D$ 点的速度大小 $v_D=\frac{v_B}{\cos \theta}=5 m / s$
坚直方向的分速度大小 $v_y=v_B \tan \theta=4 m / s$
坚直方向物块做自由落体运动，有 $v_y=g t_1$ ，
解得 $t_1=0.4 s$
$C 、 D$ 两点间的距离 $x=v_B t_1=1.2 m$.

（2）物块在斜轨道上的加速度大小 $a_1=g \sin \theta$
$-\mu g \cos \theta=6 m / s ^2$, 由 $L_1=v_D t_2+\frac{1}{2} a_1 t_2^2$
代入数据解得 $t_2=\frac{1}{3} s$
物块从 $B$ 点运动到 $E$ 点的时间
$t=t_1+t_2=0.4 s+\frac{1}{3} s=\frac{11}{15} s$.

（3）物块由 $F$ 到 $G$, 由机械能守恒定律 $\frac{1}{2} m v_F^2$ $=m g R$ ，代入数据解得 $v_F=\sqrt{2 g R}=3 m / s$物块在 $E$ 点的速度 $v_E=v_D+a_1 t_2$ ，可得 $v_E=7 m / s$物块从 $E$ 到 $F$ ，由动能定理可得

$$
-\mu m g L_2=\frac{1}{2} m v_F^2-\frac{1}{2} m v_E^2
$$

代入数据解得 $L_2=6 m$
物块由 $G$ 点滑下经 $F$ 点到粗糙水平直轨道上滑行直至停下，
由动能定理可得 $-\mu m g s=0-\frac{1}{2} m v_F^2$
代入数据解得 $s=1.35 m$.

`例` 如图所示，足够长的水平传送带以恒定速率v顺时针运动，某时刻一个质量为m的小物块，以大小也是v、方向与传送带的运动方向相反的初速度冲上传送带，最后小物块的速度与传送带的速度相同.在小物块与传送带间有相对运动的过程中，滑动摩擦力对小物块做的功为W，小物块与传送带间因摩擦产生的热量为Q，则下列判断中正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/466986.jpg)
 $A . W=0, \quad Q=m v^2$
B. $W=0, Q=2 m v^2$
C. $W=\frac{m v^2}{2}, Q=m v^2$
D. $W=m v^2, \quad Q=2 m v^2$
解：对小物块，由动能定理有 $W=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m v^2=0$,设小物块与传送带间的动摩擦因数为 $\mu$ ，小物块向左做减速运动时，二者间的相对路程 $x_1=\frac{v}{2} t+v t=\frac{3}{2} v t$,小物块向右做加速运动时，二者间的相对路程 $x_2=v t-\frac{v}{2} t=\frac{v}{2} t$,又 $t=\frac{v}{\mu g}$ ，则小物块与传送带间的相对路程 $x_{\text {相对 }}=x_1+x_2=\frac{2 v^2}{\mu g}$ ，小物块与传送带间因摩擦产生的热量 $Q=\mu m g x_{\text {相对 }}=2 m v^2$ ，选项 B 正确.

`例` (多选)如图所示，质量m＝1 kg的物体(可视为质点)从高为h＝0.2 m的光滑轨道上P点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的A点，轨道与传送带在A点平滑连接，物体和传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带A、B两点之间的距离为L＝5 m，传送带一直以v＝4 m/s的速度顺时针运动，则(g取10 m/s2)
 ![图片](/uploads/2024-12/6bed9e.jpg)
A.物体从A运动到B的时间是1.5 s
B.物体从A运动到B的过程中，摩擦力对物体做功为2 J
C.物体从A运动到B的过程中，产生的热量为2 J
D.物体从A运动到B的过程中，带动传送带转动的电动机多做的功为10 J

解：设物体下滑到 $A$ 点时的速度大小为 $v_0$ ，在由 $P$ 到 $A$过程中，
由机械能守恒定律有 $\frac{1}{2} m v_0{ }^2=m g h$ ，代入数据得

$$
v_0=\sqrt{2 g h}=2 m / s<v=4 m / s,
$$

则物体滑上传送带后, 在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动, 加速度大小为 $a=\frac{\mu m g}{m}=\mu g=2 m / s ^2$ ；
当物体的速度与传送带的速度相等时用时 $t_1=\frac{v-v_0}{a}=\frac{4-2}{2} s=1 s$,

匀加速运动过程的位移大小 $x_1=\frac{v_0+v}{2} t_1=\frac{2+4}{2} \times$

$$
1 m=3 m<L=5 m,
$$

所以物体与传送带共速后向右做匀速运动, 匀速运动的时间为 $t_2=$

$$
\frac{L-x_1}{v}=\frac{5-3}{4} s=0.5 s,
$$

故物体从 $A$ 运动到 $B$ 的时间为 $t=t_1+t_2=1.5 s$ ，选项A正确;
物体运动到 $B$ 时的速度大小 $v_B=4 m / s$, 根据动能定理得, 摩擦力对物体做的功 $W=\frac{1}{2} m v_B^2-\frac{1}{2} m v_0^2=\frac{1}{2} \times 1 \times 4^2 J-\frac{1}{2} \times 1 \times 2^2 J=6 J$, 选项 B 错误;

在 $t_1$ 时间内，传送带做匀速运动的位移为 $x_{\text {带 }}=v t_1$ $=4 m$ ，故产生的热量 $Q=\mu m g \Delta x=\mu m g\left(x_{\text {带 }}-x_1\right)$ ，代入数据得 $Q=2 J$ ，选项C正确；电动机多做的功一部分转化成了物体的动能，另一部分转化为内能，则电动机多做的功 $W^{\prime}=W+Q=6 J+2 J=8 J$ ，选项D错误。

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