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动态圆

## “平移圆”模型

![图片](/uploads/2024-12/c6ecc6.jpg)
 
 
 `例`如图所示, 在 $x O y$ 平面的第 I、IV 象限内有一圆心为 $O$ 、半径为 $R$ 的半圆形匀强磁场, 线状粒子源从 $y$ 轴左侧平行于 $x$ 轴正方向不断射出质量为 $m$ 、电荷量为 $q$ 、速度大小为 $v_0$ 的带正电粒子. 磁场的磁感应强度大小为 $\frac{m v_0}{2 q R}$ 、方向垂直平面 $x O y$ 向里. 不考虑粒子间的相互作用, 不计粒子受到的重力. 所有从不同位置进入磁场的粒子中, 在磁场中运动的时间最长为
  ![图片](/uploads/2024-12/343fb8.jpg)
A. $\frac{\pi R}{6 v_0}$
B. $\frac{\pi R}{4 v_0}$
C. $\frac{\pi R}{3 v_0}$
D. $\frac{\pi R}{2 v_0}$
解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 $q v_0 B=m \frac{v_0{ }^2}{r}$ ，解得 $r=2 R$ ，
如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心
角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，
由于 $\sin \alpha=\frac{F E}{r}$ ，要使圆心角 $\alpha$ 最大， $F E$ 最长，
经分析可知，当粒子从 $y$ 轴上的 $D^{\prime}$ 点射入、从 $x$ 轴上的 $E^{\prime}$ 点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，
有 $\sin \alpha_{ m }=\frac{O E^{\prime}}{r}$, 解得 $\alpha_{ m }=\frac{\pi}{6}$,从 $D^{\prime}$ 点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且 $t_{ m }=\frac{\frac{\pi}{6}}{2 \pi} \cdot \frac{2 \pi r}{v_0}$, 解得 $t_{ m }=\frac{\pi R}{3 v_0}$, 故选 C.

## “旋转圆”模型
 ![图片](/uploads/2024-12/7f6d89.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/cf20ea.jpg)
  
  `例` 如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知).坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子.在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点.不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求:
 ![图片](/uploads/2024-12/006c6a.jpg)
 (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例.

解：（1）由题意可知，沿 $x$ 轴正方向出射的离子，经半圆到达 $N$ 点，由此可得 $r=a$ ，可知通过 $M$ 点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为 $60^{\circ}$ ，
即 $t_1=\frac{1}{6} T$, 另一个轨迹转过的圆心角为 $300^{\circ}$,即 $t_2=\frac{5}{6} T$, 离子做匀速圆周运动, 周期 $T=\frac{2 \pi r}{v_0}$,即 $T=\frac{2 \pi a}{v_0}$, 解得 $t_1=\frac{\pi a}{3 v

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