科数网
数学题库
数学试卷
数学组卷
在线学习
电子教材
科数
试题
试卷
学习
教材
VIP
你好
游客，
登录
注册
在线学习
高中物理
第十章 磁场
动态圆
最后
更新:
2024-12-16 06:20
●
参与者
查看:
12
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
动态圆
## “平移圆”模型  `例`如图所示, 在 $x O y$ 平面的第 I、IV 象限内有一圆心为 $O$ 、半径为 $R$ 的半圆形匀强磁场, 线状粒子源从 $y$ 轴左侧平行于 $x$ 轴正方向不断射出质量为 $m$ 、电荷量为 $q$ 、速度大小为 $v_0$ 的带正电粒子. 磁场的磁感应强度大小为 $\frac{m v_0}{2 q R}$ 、方向垂直平面 $x O y$ 向里. 不考虑粒子间的相互作用, 不计粒子受到的重力. 所有从不同位置进入磁场的粒子中, 在磁场中运动的时间最长为  A. $\frac{\pi R}{6 v_0}$ B. $\frac{\pi R}{4 v_0}$ C. $\frac{\pi R}{3 v_0}$ D. $\frac{\pi R}{2 v_0}$ 解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 $q v_0 B=m \frac{v_0{ }^2}{r}$ ，解得 $r=2 R$ ， 如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心 角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长， 由于 $\sin \alpha=\frac{F E}{r}$ ，要使圆心角 $\alpha$ 最大， $F E$ 最长， 经分析可知，当粒子从 $y$ 轴上的 $D^{\prime}$ 点射入、从 $x$ 轴上的 $E^{\prime}$ 点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长， 有 $\sin \alpha_{ m }=\frac{O E^{\prime}}{r}$, 解得 $\alpha_{ m }=\frac{\pi}{6}$,从 $D^{\prime}$ 点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且 $t_{ m }=\frac{\frac{\pi}{6}}{2 \pi} \cdot \frac{2 \pi r}{v_0}$, 解得 $t_{ m }=\frac{\pi R}{3 v_0}$, 故选 C. ## “旋转圆”模型   `例` 如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知).坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子.在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点.不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求:  (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例. 解：（1）由题意可知，沿 $x$ 轴正方向出射的离子，经半圆到达 $N$ 点，由此可得 $r=a$ ，可知通过 $M$ 点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为 $60^{\circ}$ ， 即 $t_1=\frac{1}{6} T$, 另一个轨迹转过的圆心角为 $300^{\circ}$,即 $t_2=\frac{5}{6} T$, 离子做匀速圆周运动, 周期 $T=\frac{2 \pi r}{v_0}$,即 $T=\frac{2 \pi a}{v_0}$, 解得 $t_1=\frac{\pi a}{3 v_0}, t_2=\frac{5 \pi a}{3 v_0}$  （2）如图乙所示，由动态圆分析结果可知， 能打到收集板上的离子分布在速度方向与 $x$ 轴正 方向成 $60^{\circ}$ 角的范围内， 因为放射源均匀打出离子， 因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为 $\frac{120^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{2}{3}$.  ## “放缩圆”模型   真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为  A. $\frac{3 m v}{2 a e}$ B. $\frac{m v}{a e}$ C. $\frac{3 m v}{4 a e}$ D. $\frac{3 m v}{5 a e}$ 解：磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示, 设电子在磁场中做圆周运动的半径为 $r$, 由几何关系得 $a^2+r^2=(3 a-r)^2$, 根据牛顿第二定律和圆周运动知识得 $e v B=m \frac{v^2}{r}$, 联立解得 $B=\frac{3 m v}{4 a e}$, 故选 C. `例`(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点.若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是  A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 3/2 t0 D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是 5/3 t0 解：带电粒子以垂直于 $c d$ 边的某一速度射入正方形内，经过时间 $t_0$ 刚好从 $c$ 点射出磁场，则知带电粒子的运动周期 $T=2 t_0$. 该粒子从 $O$ 点以与 $O d$ 成 $30^{\circ}$ 角的方向射入磁场，随着粒子速度逐渐增大，轨迹由(1) $\rightarrow$ (2) $\rightarrow(3) \rightarrow(4)$ 依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为 $O G 、 F E 、 D C 、 B A$之间，不可能从四个顶点射出，故A正确. 由上述分析知粒子运动周期为 $2 t_0$, 由图分析可知, 从 $a b$ 边射出的粒子所用时间不可能为 $t_0$, 从 $b c$ 边射出的粒子所用时间不超过 $\frac{2}{3} T=\frac{4 t_0}{3}$, 所有从 $c d$ 边射出的粒子圆心角都是 $300^{\circ}$, 所用时间为 $\frac{5 T}{6}=\frac{5 t_0}{3}$, 故 B、C 错误, D 正确.  ## “磁聚焦”与“磁发散”模型 1.带电粒子的会聚 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出.(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对 边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点 发出的带电粒子必然经过B点.  2.带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.(发散)  证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向). `例`带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一.带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用.对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题.  (1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小； (2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2).在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出.求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)； (3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形.在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束.求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程). 解：（1）粒子垂直 $y$ 轴进入圆形磁场，在坐标原点 $O$ 汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径 $r_1$ ，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力， $q v B_1=m_{r_1}^{v^2}$ 解得 $B_1=\frac{m v}{q r_1}$ （2）粒子从 $O$ 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的 $O$ 点飞入然后沿 $x$ 轴正方向飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图甲中所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域 磁场半径为 $r_2$, 根据 $q v B_2=\frac{v^2}{r_2}$, 可知磁感应强度为 $B_2=\frac{m v}{q r_2}$ 根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为 $S_2$ $=\pi r_2{ }^2$  （3）画出磁场区域面积最小时的情形，如图乙所示. 在 I、II区域的磁场中，由几何关系可知带电 粒子运动的轨迹半径 $R_3=r_3$ ， 由洛伦兹力提供向心力有 $q v B_3=\frac{m v^2}{R_3}$, 解得 $B_3=\frac{m v}{q r_3}$, II 中磁场区域的面积 $S_1=2 \times\left(\frac{1}{4} \pi r_3{ }^2-\frac{1}{2} r_3{ }^2\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right) r_3{ }^2$ 。 在III、IV区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径 $R_4$ $=r_4$ ，由洛伦兹力提供向心力有 $q v B_4=\frac{m v^2}{R_4}$, 解得 $B_4=\frac{m v}{q r_4}$ ， IV 中磁场区域的面积 $S_4=2 \times\left(\frac{1}{4} \pi r_4{ }^2-\frac{1}{2} r_4{ }^2\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right) r_4{ }^2$. 
上一篇：
霍尔效应的原理和分析
下一篇：
没有了
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
初中数学
高中数学
高中物理
高等数学
线性代数
概率论与数理统计
复变函数
离散数学
实变函数
数论
群论
纠错
题库
高考
考研
关于
下载
科数网是专业专业的数学网站。