最后更新: 2024-12-17 14:42 查看: 121 次反馈刷题

带电粒子在立体空间中的偏转

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系.带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题.有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解.

`例` 中国 "人造太阳"在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 $O x y z$ 中， $0<z \leqslant d$ 空间内充满匀强磁场 I，磁感应强度大小为 $B$ ，方向沿 $x$ 轴正方向； $-3 d \leqslant z<0, y \geqslant 0$ 的空间内充满匀强磁场 II，磁感应强度大小为 $\frac{\sqrt{2}}{2} B$ ，方向平行于 $x O y$ 平面，与 $x$ 轴正方向夹角为 $45^{\circ}$ ； $z<0, y \leqslant 0$ 的空间内充满沿 $y$ 轴负方向的匀强电场。质量为 $m$ 、带电量为 $+q$的离子甲，从 $y O z$ 平面第三象限内距 $y$ 轴为 $L$ 的点 $A$
以一定速度出射，速度方向与 $z$ 轴正方向夹角为 $\beta$ ，在 $y O z$ 平面内运动一段时间后，经坐标原点 $O$ 沿 $z$ 轴正方向进入磁场 I. 不计离子重力.
 ![图片](/uploads/2024-12/6a5bb6.jpg)
 求：(1)当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
 (2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；

(3)离子甲以 $\frac{q B d}{2 m}$ 的速度从 $O$ 点沿 $z$ 轴正方向第一次穿过 $x O y$ 面进入磁场 I , 求第四次穿过 $x O y$ 平面的位置坐标 (用 $d$ 表示);
 
 (4)当离子甲以 $\frac{q B d}{2 m}$ 的速度从 $O$ 点进入磁场 I 时, 质量为 $4 m$ 、带电量为 + $q$ 的离子乙，也从 $O$ 点沿 $z$ 轴正方向以相同的动能同时进入磁场 I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 $\Delta t$ (忽略离子间相互作用).
 
 解：（1）如图
  ![图片](/uploads/2024-12/65342d.jpg)
  
将离子甲在 $A$ 点的出射速度 $v_0$ 分解到沿, 轴方向和 $z$轴方向，离子受到的静电力沿 y 轴负方向，可知离子沿 2 轴方向做匀速直线运动，沿 $y$ 轴方向做匀减速直线运动，从 $A$ 到 $O$ 的过程，有

$$
L=v_0 \cos \beta \cdot t, v_0 \sin \beta=a t, \quad a=\frac{q E}{m}
$$

联立解得 $E=\frac{m v_0{ }^2 \sin \beta \cos \beta}{q L}$;

（2）如图
 ![图片](/uploads/2024-12/1b767e.jpg)
 如图所示
离子从坐标原点 $O$ 沿 $z$ 轴正方向进入磁场 I 中，由洛伦兹力提供向心力可得 $q v_1 B=\frac{m v_1^2}{r_1}$
离子经过磁场 I 偏转后从 1 轴进入磁场 II 中，由洛伦兹力提供向心力可得 $q v_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B=\frac{m v_1^2}{r_{ II }}$ ，可得 $r_{ II }=\sqrt{2} r_{ I }$为了使离子在磁场中运动，需满足 $r_I \leqslant d, r_{\text {II }} \leqslant 3 d$则可得 $v_1 \leqslant \frac{q B d}{m}$

故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动,进入磁场时的最大速度为 $\frac{q B d}{m}$ ；
（3）如图
 ![图片](/uploads/2024-12/238e09.jpg)
 离子甲以 $v=\frac{q B d}{2 m}$ 的速度从 $O$ 点沿 $z$ 轴正方向第一次穿过 $x O y$ 面进入磁场 I , 离子在磁场 I 中的轨迹半径为 $r_1=\frac{m v}{q B}=\frac{d}{2}$离子在磁场 II 中的轨迹半径为 $r_2=\frac{\sqrt{2} d}{2}$

离子从 $O$ 点第一次穿过到第四次穿过 $x O y$ 平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过 $x O y$ 平面的 $x$ 坐标为

$$
x_4=2 r_2 \sin 45^{\circ}=d
$$

离子第四次穿过 $x O y$ 平面的 $y$ 坐标为 $y_4=$

$$
2 r_1=d
$$

故离子第四次穿过 $x O y$ 平面的位置坐标

$$
\text { 为 }(d, d, 0) \text { ； }
$$

（4）设离子乙的速度为 $v^{\prime}$, 根据离子甲、乙动能相同, 可得 $\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2}$ $\times 4 m v^{\prime}{ }^2$
可得 $v^{\prime}=\frac{v}{2}=\frac{q B d}{4 m}$
离子乙在磁场 I 中的轨迹半径为 $r_1{ }^{\prime}=\frac{4 m v^{\prime}}{q B}=d=2 r_1$
离子乙在磁场 II 中的轨迹半径为 $r_2{ }^{\prime}=\frac{4 m v^{\prime}}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=\sqrt{2} d=2 r_2$
 ![图片](/uploads/2024-12/1e72bd.jpg)
 
 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示，从 $O$ 点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有

$$
\begin{aligned}
& t_{\text {甲 }}=T_1+T_2=\frac{2 \pi m}{q B}+\frac{2 \pi m}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=(2+2 \sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B} \\
& t_{\text {乙 }}=\frac{1}{2} T_1{ }^{\prime}+\frac{1}{2} T_2{ }^{\prime}=\frac{1}{2} \times \frac{2 \pi \cdot 4 m}{q B}+\frac{1}{2} \times \frac{2 \pi \cdot 4 m}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=(4+4 \sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B}
\end{aligned}
$$

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为 $\Delta t=t_{ z }-t_{\text {甲 }}$

$$
=(2+2 \sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B} .
$$

`例`某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d＝4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场强度等大.现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度v0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点
均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求：
 ![图片](/uploads/2024-12/75967b.jpg)
 (1)电场强度的大小；
(2)离子到达B点时速度的大小；
(3)Ⅱ区中磁感应强度的大小；
(4)Ⅱ区的长度L应为多大.

解：（1）离子在 I 区做类平抛运动, 根据类平抛运动的规律有 $4 R=v_0 t, \frac{3 R}{2}=\frac{1}{2} a t^2$,根据牛顿第二定律有 $a=\frac{E q}{m}$, 解得电场强度的大小为 $E=\frac{3 m v_0{ }^2}{16 R q}$.
（2）类平抛过程由动能定理有 $\frac{3 E q R}{2}=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m v 0^2$, 解得离子到达 $B$ 点时速度的大小为 $v=\frac{5}{4} v 0$.
（3）离子在 II 区内做复杂的旋进运动.
将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和 $z$ 轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示.
设临界圆轨迹半径为 $r$ ，根据几何知识有 $(R-r)^2=r^2+\frac{R^2}{4}$ ，解得离子的轨迹半径为 $r=\frac{3}{8} R$, 离子沿 $y$ 轴正方向的速度为 $v_y=\sqrt{v^2-v_0^2}$ $=\frac{3}{4} v_0$, 则根据洛伦兹力提供向心力有 $q v_y B=\frac{m v_y^2}{r}$解得 II 区中磁感应强度大小为 $B=\frac{2 m v_0}{q R}$.

![图片](/uploads/2024-12/283c7f.jpg)

（4）如图
 ![图片](/uploads/2024-12/bce915.jpg)
 离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为 $T=\frac{2 \pi r}{v_y}$, 由题意知离子在 II 区运动的时间为 $T$ 的整数倍, 离子在 $z$ 轴正方向上做匀加速直线运动, 根据匀变速直线运动的位移公式可得 $L=v_0 n T+\frac{1}{2} a(n T)^2(n=$ $1,2,3, \cdots)$, 联立解得 II 区的长度为 $L=n \pi R+\frac{3 n^2 \pi^2}{32} R(n=1,2,3, \cdots)$.

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