最后更新: 2024-12-17 14:36 查看: 259 次反馈刷题

带电粒子的螺旋线运动和旋进运动

空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的.现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动.
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动.

`例`如图所示，质子以初速度 $v$ 进入磁感应强度为 $B$ 且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为 $\theta$. 已知质子的质量为 $m$ 、电荷量为 $e$.质子重力不计，则下列说法正确的是
A. 质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B. 质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为 $\frac{m v \cos \theta}{e B}$
C. 质子做螺旋线运动的周期为 $\frac{2 \pi m}{e B \sin \theta}$
D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为 $\frac{2 \pi m v \cos \theta}{e B}$
 ![图片](/uploads/2024-12/4727f5.jpg)
 
 解：将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度 $v_1=v \sin \theta$ ，沿磁场方向的速度 $v_2=v \cos \theta$ ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；
质子做螺旋线运动的半径为 $r=\frac{m v_1}{e B}=\frac{m v \sin \theta}{e B}$, 选项 B 错误;质子做螺旋线运动的周期为 $T=\frac{2 \pi r}{v_1}=\frac{2 \pi m}{e B}$ ，选项 C 错误；一个周期内, 质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为 $x=v_2 T=$ $\frac{2 \pi m v \cos \theta}{e B}$, 选项 D 正确.

`例` 在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E，方向均沿x轴水平向右.在O点，一个α粒子(氦原子核)以速度v0沿与x轴夹角为60°的方向射入电、磁场，已知质子质量为m、电荷量为q，不计α粒子的重力.求：
 ![图片](/uploads/2024-12/8f51d9.jpg)
 (1)α粒子离x轴的最远距离；
(2)α粒子从O点射出后，第3次与x轴相交时的动能.

解：（1）由题意可知 $\alpha$ 粒子的质量为 $m_\alpha=4 m$ 、电荷量为 $q_\alpha=2 q$ ， 将 $\alpha$ 粒子的初速度分解成沿 $x$ 轴方向的分速度 $v_x$ 与垂直 $x$ 轴方向的分速度 $v_y$ ，则有 $v_x=v_0 \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} v_0, v_y=v_0 \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} v_0$
由于 $v_x$ 与磁场方向平行，不受洛伦兹力影响，电场方向沿着 $x$ 轴方向，只影响 $v_x$ ，不影响 $v_y$ ，故 $\alpha$ 粒子在电、磁场中的运动可分解为：垂直于 $x$ 轴的平面内做匀速圆周运动，沿 $x$ 轴方向做匀加速直线运动。
对于垂直于 $x$ 轴平面内的匀速圆周运动，

解得圆周运动半径 $r=\frac{m_a v_y}{q_0 B}=\frac{4 m v_y}{2 q B}=\frac{\sqrt{3} m v_0}{q B}$,故 $\alpha$ 粒子离 $x$ 轴的最远距离是直径的长度, 即为 $\frac{2 \sqrt{3} m v_0}{q B}$;

（2）$\alpha$ 粒子从 $O$ 点射出后，第 3 次与 $x$ 轴相交时，由于在垂直于 $x$ 轴的平面内做匀速圆周运动，可知此过程经历的时间 $t=3 T=3 \times \frac{2 \pi m_\alpha}{q_a B}=\frac{12 \pi m}{q B}$,沿 $x$ 轴方向的匀加速直线运动所通过的位移 $x=v_x t+\frac{1}{2} a t^2$,又加速度 $a=\frac{q_0 E}{m_\alpha}=\frac{q E}{2 m}$ ，解得 $x=\frac{6 \pi m}{q B}\left(v_0+\frac{6 \pi E}{B}\right)$ $\alpha$ 粒子从 $O$ 点射出后到第 3 次与 $x$ 轴相交的过程，由动能定理有 $q_a E x=E_{ k }-\frac{1}{2} m_a v_0^2$
联立解得 $\alpha$ 粒子从 $O$ 点射出后，第 3 次与 $x$ 轴相交时的动能 $E_{ k }=2 m v_0^2+\frac{12 \pi m E}{B}\left(v_0+\frac{6 \pi E}{B}\right)$.

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