最后更新: 2024-12-17 14:33 ● 参与者查看: 74 次纠错分享参与项目词条搜索

带电粒子在交变电、磁场中的运动

解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路

![图片](/uploads/2024-12/49b070.jpg)
 
 `例`如图甲所示，水平放置的平行金属板 $a 、 b$ 间加直流电压 $U, a$ 板上方有足够长的 "V" 字形绝缘弹性挡板，两板夹角为 $60^{\circ}$ ，在挡板间加垂直纸面的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图乙，垂直纸面向里为磁场正方向，其中 $B_1$ $=B_0, B_2$ 未知.现有一比荷为 $\frac{q}{m}$ 、不计重力的带正电粒子从 $c$ 点由静止释放， $t=$ 0 时刻，粒子刚好从小孔 $O$ 进入上方磁场中，在 $t_1$ 时刻粒子第一次撞到左挡板，紧接着在 $t_1+t_2$ 时刻粒子撞到右挡板，然后粒子从 $O$ 点坚直向下返回平行金属板间，使其在整个装置中做周期性的往返运动.粒子与挡板碰撞前后电荷量不变，沿板方向的分速度不变，垂直板方向的分速度大小不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的影响.求：
(1)粒子第一次到达O点时的速率；

![图片](/uploads/2024-12/01f1ce.jpg)
 
 (2)图中B2的大小；
 ![图片](/uploads/2024-12/eab871.jpg)

(3)金属板a和b间的距离d.

解：（1）粒子从 $b$ 板到 $a$ 板的过程中, 静电力做正功, 根据动能定理有 $q U=$ $\frac{1}{2} m v^2-0$
解得粒子第一次到达 $O$ 点时的速率 $v=\sqrt{\frac{2 q U}{m}}$

（2）粒子进入 $a$ 板上方后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由 $q v B=m \frac{v^2}{r}$ 得 $r=\frac{m v}{q B}$,
则得粒子做匀速圆周运动的半径 $r_1=\frac{m v}{q B_1}, r_2=\frac{m v}{q B_2}$
使其在整个装置中做周期性的往返运动，运动轨迹如图所示，由图易知 $r_1=2 r_2$ ，已知 $B_1=B_0$ ，则得 $B_2=2 B_0$

![图片](/uploads/2024-12/90a80f.jpg)
 
 （3）在 $0 \sim t_1$ 时间内，粒子做匀速圆周运动的周期

$$
T_1=\frac{2 \pi m}{q B_0}
$$

在 $t_1 \sim\left(t_1+t_2\right)$ 时间内, 粒子做匀速圆周运动的周期 $T_2=\frac{\pi m}{q B_0}$

由轨迹图可知 $t_1=\frac{1}{6} T_1=\frac{\pi m}{3 q B_0}$

$$
t_2=\frac{1}{2} T_2=\frac{\pi m}{2 q B_0}
$$

粒子在金属板 $a$ 和 $b$ 间往返时间为 $t$ ，
有 $d=\frac{0+v}{2} \times \frac{t}{2}$
且满足 $t=t_2+n\left(t_1+t_2\right)(n=0,1,2, \cdots)$
联立可得金属板 $a$ 和 $b$ 间的距离 $d=\frac{\pi(3+5 n)}{24 B_0} \sqrt{\frac{2 U m}{q}}(n=0,1,2, \cdots)$.

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