最后更新: 2025-06-24 16:24 查看: 580 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

因式分解

## 因式与倍式
在算术中已经知道，如果整数$a$能够被整数$b$整除，就是说，能够找到一个整数$q$，使$a=q\cdot b$成立，那么，$a$就叫做$b$的倍数，而$b$叫做$a$的因数．当然，这时$a$也是$q$的倍数，$q$也是$a$的因数．

例如：由$12=4\times 3$，因而12是3与4的倍数，而3与4就是12的因数．

显然，12的因数还有很多个，如：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$等都是12的因数．

如果一个整数$k, (k\ne 1)$除了$\pm1,\pm k$以外再没有其它的因数，那么，$k$就叫做**质数**（也叫**素数**）．

例如：$2, 3, 7, 5$等，都是质数．

在代数中，对于多项式来说，也有类似的概念．如果多项式$f(x)$能够被非零多项式$g(x)$整除，也就是，可以找到一个多项式$Q(x)$，使$f(x)=Q(x)\cdot g(x)$成立，那么，$f(x)$就叫做$g(x)$的倍式，而$g(x)$叫做$f(x)$的因式．当然，这种情况下，$f(x)$也是$Q(x)$的倍式，$Q(x)$也是$f(x)$的因式．显然，这里的$Q(x)$, $g(x)$的次数都不会大于$f(x)$的次数．

例如：$\because\quad x^2-1=(x+1)(x-1)$, $\therefore\quad $ $x^2-1$就是$(x+1)$，$x-1)$的倍式；而$(x+1)$，$(x-1)$又都是$(x^2-1)$的因式．

又由于任一个多项式$f(x)$，都可以写成“一个零次多项式$a$与另一多项式$\frac{1}{a}f(x)$的乘积”，即
$f(x)=a\cdot \frac{1}{a}f(x)$

因此，任何一个零次多项式$a$以及与$f(x)$相差一个常数倍的多项式$\frac{1}{a}f(x)$，都可以看成多项式$f(x)$ 的因式．

如果一个多项式$f(x)$，除有零次因式和它本身$f(x)$外，还有次数较低（但大于1次）的其它因式$Q(x)$, $g(x)$, 那么，$f(x)$就叫做**可约多项式**．

例如：多项式$f(x)=ax+b\; (a\ne 0)$就是不可约多项式；
多项式$g(x)=x^2+1$, 在实数范围内是不可约多项式；多项式$R(x)=x^2-2$ 在有理数范围内，是不可约多项式；但在实数范围内，由于$x^2-2=(x+\sqrt{2})\cdot (x-\sqrt{2})$，因此，它又是一个可约多项式． 多项式$\varphi(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$是一个可约多项式．

## 因式分解
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

> 为什么要因式分解，因为为了方便解方程

`例`分解因式 $12x^4y^2-8x^3y+6x^2y^3$
解：原式=$12x^4y^2-8x^3y+6x^2y^3=2x^2y(6x^2y-4x+3y^2)$

**一、提公因式法**
这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

`例`因式分解下列多项式:
(1) $x^3 y-x y^3=x y\left(x^2-y^2\right)=x y(x+y)(x-y)$ ；
(2) $3 x^3-18 x^2+27 x=3 x\left(x^2-6 x+9\right)=3 x(x-3)^2$;
(3) $3 a^3+6 a^2 b-3 a^2 c-6 a b c=3 a\left(a^2+2 a b-a c-2 b c\right)$
$=3 a[a(a-c)+2 b(a-c)]=3 a(a+2 b)(a-c)$.

`例`
$$
 \begin{aligned}
& 4 p^2(a+3)-3 p^2(a+3)^2 \\
= & p^2(a+3)[4-3(a+3)] \\
= & p^2(a+3)(-3 a-5) \\
= & -p^2(a+3)(3 a+5) .
\end{aligned}
$$

**二、公式法**

常用的公式如下:

$$
\begin{aligned}
& (x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b \\
& (a \pm b)^2=a^2 \pm 2 a b+b^2 \\
& (a \pm b)^3=a^3 \pm 3 a^2 b+3 a b^2 \pm b^3 \\
& a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\
& a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) \\
& a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \\
& (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a \\
& a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)
\end{aligned}
$$

还有两个常考的 $n$ 次方展开的公式:

$$
\begin{aligned}
& a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)\left(n \in Z^{+

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