最后更新: 2024-12-07 18:06 查看: 407 次反馈刷题

等差与等比求和公式

## 等差数列求和
在实数里，我们利用运算性质, 曾经简捷地计算过:

$$
\begin{aligned}
1+2+3+\cdots+100 & =5050 \\
1+3+5+\cdots+99 & =2500
\end{aligned}
$$

在这两串数 $1,2, \ldots, 100$ 和 $1,3,5, \ldots, 99$ 中都有一个特点：从第二个数起；每个数与它前边的一个数的差都相等. 象第一个数串中, 这个差为 1 ; 第二个数串中，这个差为2.

象这样有次序地排好的一串数, 其中任一数与它前一个数的差都相等. 我们就把这样一串数叫做**等差数列**. 这个 "相等的差", 叫做这个数列的公差. 数列中的每一个数，叫做这个数列的一项。排头的一个数，叫首项，排尾的一个数叫末项。

可见，等差数列的任一项，都应等于它前面的一项加上公差.
若用 $a_1$ 表示等差数列的首项, $d$ 表示公差, 那么这个等差数列的每一项可写成:
 ![图片](/uploads/2024-12/0b2525.jpg)
 
 一般地, 这个数列的第 $n$ 项可表为:

$$
a_n=a_1+(n-1) d
$$

由此，一个等差数列，只要知道它的首项和公差，就可以写出它的任何一项来.

`例` 1. 写出首项为 2 , 公差为 5 的等差数列的各项;
2. 写出首项为 2, 公差为 -1 的等差数列的各项。

解:
1. 首项为 2 , 公差为 5 的等差数列各项为: $2,7,12, \ldots, 2+5(n-1), \ldots$
2. 首项为 2 , 公差为 -1 的等差数列的各项为: $2,1,0,-1,-2, \ldots, 2+(n-$ 1) $\cdot(-1), \ldots$

`例`如果一等差数列的首项是 5 , 公差是 2 , 那么它的第 10 项, 第 15 项各是多少?

解: $\because$ 第 $n$ 项为 $a_n=a+(n-1) d$这里 $a_1=5, d=2, n=10,15$.
$\therefore$ 第 10 项应为:

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
a_{10} & =a_1+(10-1) d \\
& =5+9 \times 2=23
\end{aligned}\\
&\text { 同样，第 } 15 \text { 项应为： }\\
&a_{15}=5+(15-1) \times 2=33
\end{aligned}
$$

等差数列前 $n$ 项的和如何求呢? 下边我们就利用数系运算的通性, 导出它的求和公式。

`例` 求 $1+2+3+\cdots+n$
解：设

$$
1+2+3+\cdots+n=S ...(1)
$$

则利用交换律，可以改写为

$$
n+\cdots+3+2+1=S ...(2)
$$

将等式（1），（2）相加，得

$$
\underbrace{(1+n)+\cdots+[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1)}_{n \text { 项 }}=2 S
$$

即: $n(n+1)=2 S, \quad \therefore \quad S=\frac{n(n+1)}{2}$
因此:

$$
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$

当 $n=100$ 时, 就是:

$$
1+2+3+\cdots+100=\frac{100(100+1)}{2}=5050
$$

一般地, 对于等差数列 $a_1, a_1+d, a_1+2 d, \ldots, a_1+(n-1) d, \ldots$ 的前 $n$ 项求和公式，可作如下推导：

设 $S=a_1+\left(a_1+d\right)+\left(a_1+2 d\right)+\cdots+\left[a_1+(n-1) d\right]$, 又 $S=\left[a_1+(n-\right.$ $1) d]+\left[a_1+(n-2) d\right]+\left[a_1+(n-3) d\right]+\cdots+a_1$, 两式相加, 可得:

$$
2 S=\underbrace{\left[2 a_1+(n-1) d\right]+\left[2 a_1+(n-1) d\right]+\cdots+\left[2 a_1+(n-1) d\right]}_{n \text { 项 }}
$$

即: $2 S=n\left[2 a_1+(n-1) d\right], \quad \therefore \quad S=\frac{n\left[2 a_1+(n-1) d\right]}{2}$

如果把等差数列前 $n$ 项和的公式变形, 又可以得出:

$$
\begin{aligned}
S & =\frac{n\left[2 a_1+(n-1) d\right]}{2} \\
& =\frac{n\left[a_1+a_1+(n-1) d\right]}{2}
\end{aligned}
$$

所以，求和公式为

$$
 \boxed{ S=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}}
$$

> 因此, 等差数列的求和公式, 又可以叙述为：等差数列前 $n$ 项和，等于首项加末项, 乘以项数, 再除以 2 .

`例` 求 $1+3+5+\cdots+(2 n-1)$
解: 这里 $a_1=1, a_n=2n-1$, 共 $n$ 项, 因此:

$$
S=\frac{1 + 2n-1] * n}{2}=n^2
$$

即: $1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^2$.

## 等比数列求和
如果在一串按次序排好的数中, 从第二个数起, 每一数与它前一个数的比都相等. 那么, 这串数就叫做**等比数列**. 这个相等的比值, 叫这个数列的公比.其中的每一个数, 叫做等比数列的一项, 头一项称为首项, 最后一项称为末项.不难看出，等比数列的任一项，都应等于它的前一项乘以公比.
若以 $a_1$ 表示首项, $q$ 表示公比, 则可以写出等比数列的每一项分别是:
 ![图片](/uploads/2024-12/6517e8.jpg)
 
 一般地, 等比数列的第 $n$ 项是:

$$
a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
$$

`例`写出首项是 2 , 公比分别是 $2,-1$ 的等比数列.
解: 首项是 2 ，公比是 2 的等比数列是：

$$
2,4,8, \ldots, 2^n, \ldots
$$

首项是 2 , 公比是 -1 的等比数列是:

$$
2,-2,2, \ldots,(-1)^{n-1} \cdot 2, \ldots
$$

`例` 一等比数列的首项为 3 , 公比是 $\frac{1}{2}$, 求它的第 10 项及第 20 项.
解: $\because a_n=a_1 q^{n-1}$ 。
当 $n=10$ 时可得第 10 项：

$$
a_{10}=3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^9=\frac{3}{2^9}=\frac{3}{512}
$$

当 $n=20$ 时可得第 20 项：

$$
a_{20}=3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{19}=\frac{3}{2^{19}}=\frac{3}{524288}
$$

`例`  求 $3+3 \cdot 4+3 \cdot 4^2+\cdots+3 \cdot 4^{n-1}$
解：这是一个等比数列的前 $n$ 项求和的问题，可设：

$$
S=3+3 \times 4+3 \times 4^2+\cdots+3 \times 4^{n-1}
$$

则有

$$
4 S=3 \times 4+3 \times 4^2+\cdots+3 \times 4^{n-1}+3 \times 4^n
$$

两式相减得：

$$
\begin{aligned}
(4-1) S & =3 \times 4^n-3 \\
S & =\frac{3\left(4^n-1\right)}{4-1}=4^n-1
\end{aligned}
$$

一般地，对于等比数列 $a_1, a_1 q, a_1 q^2, \ldots, a_1 q^{n-1}, \ldots$ 的前 $n$ 项求和，我们可作如下推导：

设 $S=a_1+a_1 q+a_1 q^2+\cdots+a_1 q^{n-1}$ ，则:

$$
q S=a_1 q+a_1 q^2+\cdots+a_1 q^{n-1}+a_1 q^n
$$

两式相减: $(1-q) S=a_1-a_1 q^n$.
当 $q \neq 1$ 时,

$$
\boxed{
S=\frac{a_1-a_1 q^n}{1-q}=\frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}
}
$$

> 这就是等比数列的前 $n$ 项求和公式.

而当 $q=1$ 时，这个等比数列为： $a_1, a_1, a_1, \ldots, a_1, \ldots$
显然前 $n$ 项和 $S=n a_1$.

`例`  如果等比数列前两项的和是 $1 \frac{1}{2}$, 而这两项的差是 $\frac{1}{2}$, 试求这数列的前 10 项和。

解: 设等比数列的首项为 $a_1$, 第二项为 $a_1 q$, 则由已知得:

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1+a_1 q=1 \frac{1}{2} \\
a_1-a_1 q=\frac{1}{2}
\end{array}\right.
$$

两式相加得: $2 a_{=} 2, \quad \therefore \quad a_1=1$
两式相减得: $2 a_1 q=1, \quad \therefore \quad a_1 q=\frac{1}{2}$
已知 $a_1=1, \quad \therefore \quad q=\frac{1}{2}$.
因此，前 10 项和应为：

$$
\begin{aligned}
S_{10}=\frac{a_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q} & =\frac{1\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)}{1-\frac{1}{2}} \\
& =\frac{2^{10}-1}{2^9}=\frac{1023}{512}
\end{aligned}
$$

## 其它数列求和
除常见的等差，等比数列外，我国古代的“垛积术”中，还有一些较复杂
的数列求和问题，这些问题也有重要应用．
例 7.24 某仓库中，存放的罐头堆成锥形垛．顶上放一桶，第二层有四桶，以
下各层，每个桶均由四个桶顶着（如图）一垛共有五层．问这一垛共有多少桶？
 ![图片](/uploads/2024-12/9aa212.jpg)
 解: 显然, 这一垛共有: $(1+4+9+16+25)$ 桶. 即: $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$桶。

这就是说，前五个自然数的平方和等于 55 。
一般地, 如果由前 n 个自然数的平方组成的数列 $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ 。如何求出它们的和呢？能不能导出一个通用的公式呢？
以下我们将先对这个数列的前 $n$ 项和的特点进行分析, 然后应用待定系数法导出它的求和公式。

设 $1^2+2^2+\cdots+n^2=S(n)$, 在 $S(n)$ 中, $n$ 代表项数. 显然有:

$$
\begin{aligned}
S(0) & =0 \\
S(1) & =1 \\
S(2) & =1^2+2^2=5 \\
S(3) & =1^2+2^2+3^2=14 \\
\cdots \cdots & \cdots \\
S(n) & =1^2+2^2+\cdots+n^2 \\
S(n+1) & =1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2
\end{aligned}
$$

而且还可以看出：无论项数 $n$ 取几，总有

$$
S(n+1)-S(n)=(n+1)^2=n^2+2 n+1
$$

可见, $S(n)$ 很可能是一个关于项数 $n$ 的多项式, 它只要满足两个性质:
1. $S(0)=0$
2. $S(n+1)-S(n)=n^2+2 n+1 \quad(n$ 的二次式）

这就启示我们, 如果能求出一个多项式 $S(x)$, 能满足以上两条性质, 即 $S(0)=0, S(x+1)-S(x)$ 是一个二次式. 那么, 所求数列的前 $n$ 项和, 就是当 $x=n$ 时, 多项式 $S(x)$ 的值 $S(n)$.

但是, 满足以上两条性质的多项式 $S(x)$ 应该是几次多项式呢?
我们不妨设 $S(x)$ 是 $m$ 次多项式, 即

$$
S(x)=a x^m+b x^{m-1}+\cdots+c x+d \quad(a \neq 0)
$$

则: $S(x+1)=a(x+1) x^m+b(x+1) x^{m-1}+\cdots+c(x+1) x+d$ 由乘法公式,
不难知道：

$$
\begin{aligned}
S(x+1) & =a\left(x^m+m x^{m-1}+\cdots+1\right)+b\left[x^{m-1}+(m-1) x^{m-2}+\cdots+1\right] \\
+\cdots+c(x+1)+d & \\
& =a x^m+(b+a m) x^{m-1}+\cdots+(c+\cdots) x+(a+b+\cdots+c+d) \\
\therefore \quad S(x+1)-S(x) & =(b+a m-b) x^{m-1}+\cdots=a m x^{m-1}+\cdots
\end{aligned}
$$

由于 $a m \neq 0$, 显然 $S(x+1)-S(x)$ 是 $m-1$ 次多项式, 因此, 我们可以得出：
当 $S(x)$ 是一个 $m$ 次多项式时， $S(x+1)-S(x)$ 必定是一个 $m-1$ 次多项式。

也就是说，多项式 $S(x+1)-S(x)$ 的次数比多项式 $S(x)$ 的次数低一次。这样，由于在我们以上所求问题中， $S(x+1)-S(x)$ 是二次多项式，所以， $S(x)$ 必定是一个三次多项式.

基于以上分析，以下我们就可以用待定系数法导出前 $n$ 个自然数平方的求和公式。

例7.25 试求 $1^2+2^2+\cdots+n^2$ 。
解: 设 $1^2+2^2+\cdots+n^2=S(n)$
由分析知 $S(n)$ 是一个关于项数 $n$ 的三次式，且 $S(0)=0, S(1)=1$ ， $S(2)=5, S(3)=14$ 。其中, 0 是 $S(n)$ 的一个根。
$\therefore$ 由余式定理的推论, 得:

$$
S(n)=n\left(a n^2+b n+c\right)
$$

这里 $a 、 b 、 c$ 都是待定系数.
将 $S(1)=1, S(2)=5, S(3)=14$ 分别代人上式, 即可得出

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 1 = a + 6 + c } \\
{ 5 = 2 ( 4 a + 2 6 + c ) } \\
{ 1 4 = 3 ( 9 a + 3 6 + c ) }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
a+b+c=1 \\
4 a+2 b+c=\frac{5}{2} \\
9 a+3 b+c=\frac{14}{3}
\end{array}\right.\right.
$$

解这个方程组, 得 $a=\frac{1}{3}, \quad b=\frac{1}{2}, \quad c=\frac{1}{6}$ 因此:

$$
\begin{aligned}
S(n) & =n\left(\frac{1}{3} n^2+\frac{1}{2} n+\frac{1}{6}\right) \\
& =\frac{n}{6}\left(2 n^2+3 n+1\right) \\
& =\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)
\end{aligned}
$$

练习

试用待定系数法求 $1^3+2^3+\cdots+n^3$.

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：因式分解

下一篇：多项式的除法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)