最后更新: 2024-12-07 18:06 查看: 1042 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

等差与等比求和公式

## 等差数列求和
在实数里，我们利用运算性质, 曾经简捷地计算过:

$$
\begin{aligned}
1+2+3+\cdots+100 & =5050 \\
1+3+5+\cdots+99 & =2500
\end{aligned}
$$

在这两串数 $1,2, \ldots, 100$ 和 $1,3,5, \ldots, 99$ 中都有一个特点：从第二个数起；每个数与它前边的一个数的差都相等. 象第一个数串中, 这个差为 1 ; 第二个数串中，这个差为2.

象这样有次序地排好的一串数, 其中任一数与它前一个数的差都相等. 我们就把这样一串数叫做**等差数列**. 这个 "相等的差", 叫做这个数列的公差. 数列中的每一个数，叫做这个数列的一项。排头的一个数，叫首项，排尾的一个数叫末项。

可见，等差数列的任一项，都应等于它前面的一项加上公差.
若用 $a_1$ 表示等差数列的首项, $d$ 表示公差, 那么这个等差数列的每一项可写成:
 ![图片](/uploads/2024-12/0b2525.jpg)
 
 一般地, 这个数列的第 $n$ 项可表为:

$$
a_n=a_1+(n-1) d
$$

由此，一个等差数列，只要知道它的首项和公差，就可以写出它的任何一项来.

`例` 1. 写出首项为 2 , 公差为 5 的等差数列的各项;
2. 写出首项为 2, 公差为 -1 的等差数列的各项。

解:
1. 首项为 2 , 公差为 5 的等差数列各项为: $2,7,12, \ldots, 2+5(n-1), \ldots$
2. 首项为 2 , 公差为 -1 的等差数列的各项为: $2,1,0,-1,-2, \ldots, 2+(n-$ 1) $\cdot(-1), \ldots$

`例`如果一等差数列的首项是 5 , 公差是 2 , 那么它的第 10 项, 第 15 项各是多少?

解: $\because$ 第 $n$ 项为 $a_n=a+(n-1) d$这里 $a_1=5, d=2, n=10,15$.
$\therefore$ 第 10 项应为:

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
a_{10} & =a_1+(10-1) d \\
& =5+9 \times 2=23
\end{aligned}\\
&\text { 同样，第 } 15 \text { 项应为： }\\
&a_{15}=5+(15-1) \times 2=33
\end{aligned}
$$

等差数列前 $n$ 项的和如何求呢? 下边我们就利用数系运算的通性, 导出它的求和公式。

`例` 求 $1+2+3+\cdots+n$
解：设

$$
1+2+3+\cdots+n=S ...(1)
$$

则利用交换律，可以改写为

$$
n+\cdots+3+2+1=S ...(2)
$$

将等式（1），（2）相加，得

$$
\underbrace{(1+n)+\cdots+[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1)}_{n \text { 项 }}=2 S
$$

即: $n(n+1)=2 S, \quad \therefore \quad S=\frac{n(n+1)}{2}$
因此:

$$
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$

当 $n=100$ 时, 就是:

$$
1+2+3+\cdots+100=\frac{100(100+1)}{2}=5050
$$

一般地, 对于等差数列 $a_1, a_1+d, a_1+2 d, \ldots, a_1+(n-1) d, \ldots$ 的前 $n$ 项求和公式，可作如下推导：

设 $S=a_1+\left(a_1+d\right)+\left(a_1+2 d\right)+\cdots+\left[a_1+(n-1) d\right]$, 又 $S=\left[a_1+(n-\right.$ $1) d]+\left[a_1+(n-2) d\right]+\left[a_1+(n-3) d\right]+\cdots+a_1$, 两式相加, 可得:

$$
2 S=\underbrace{\left[2 a_1+(n-1) d\right]+\left[2 a_1+(n-1) d\right]+\cdots+\left[2 a_1+(n-1) d\right]}_{n \text { 项 }}
$$

即: $2 S=n\left[2 a_1+(n-1) d\right], \quad \therefore \quad S=\frac{n\left[2 a_1+(n-1) d\right]}{2}$

如果把等差数列前 $n$ 项和的公式变形, 又可以得出:

$$
\begin{aligned}
S & =\frac{n\left[2 a_1+(n-1) d\right]}{2

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