最后更新: 2025-06-24 15:39 查看: 916 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多项式的除法

## 单项式除以单项式

由指数运算律：$a^m\div a^n=a^{m-n}\; (a\ne 0,\, m>n)$以及
零指数的定义：$a^0=1\; (a\ne 0)$，就可以知道：两个单项式$ax^m$和$bx^n$，当$bx^n\ne 0$且$m\ge n$时，就有以下除法法则：
 $ax^m\div bx^n =\frac{a}{b}x^{m-n},\qquad (bx^n\ne 0,\; m\ge n)  $
这就是说：
两个单项式相除（除式不为零），其系数相除，未知数的指数相减，所得商仍是一个单项式

`例`计算 $(-2x^3)\div 4x=-\frac{2}{4}x^{3-1}=-\frac{1}{2}x^2$

`例` 计算 $-3 x^2 y^4 m \div 12 x^2 y$
$$
\begin{aligned}
& -3 x^2 y^4 m \div 12 x^2 y \\
= & -\frac{3}{12} x^{2-2} y^{4-1} m \\
= & -\frac{1}{4} y^3 m
\end{aligned}
$$

## 多项式除以单项式
多项式除以单项式，就是用这个单项式去除多项式的每一项，再把所得的商相加。
`例`
$$
  \begin{aligned}
& \left(42 a^3 b^4+28 a^2 b^3-2 a b^2\right) \div 7 a b^2 \\
= & 42 a^3 b^4 \div 7 a b^2+28 a^2 b^3 \div 7 a b^2-2 a b^2 \div 7 a b^2 \\
= & 6 a^2 b^2+4 a b-\frac{2}{7}
\end{aligned}
$$

## 延伸：一元多项式的除法

一个正整数$a$除以正整数$b$，可以得到一个商数$g$
及一个余数$r$，它们之间的关系是： $a=g\cdot b+r,\qquad (0\le r< b) $

例如：$530 \div 3 = 173 ... 1$ ,就是说：520除以3，得商数173，余数1；我们可以扩展到多项式

任何整数$A$除以非零整数$B$，所得的商数为$Q$，余数为$R$，一定满足下列关系式：
 $ A=Q\cdot B+R,\qquad \text{其中：} 0\le R<|B| $
显然，当$A$能够被$B$整除时，$R=0$．

## 长除法

多项式$f(x)$除以$g(x)$ ($g(x)\ne 0$)，就是要求出两个多项式$Q(x)$和$R(x)$，使它们能够满足关系式：$f(x)=Q(x)\cdot g(x)+R(x)$，且$R(x)=0$或$R(x)$是一个比$g(x)$次数低的多项式．这时，多项式$Q(x)$、$R(x)$就分别

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