最后更新: 2025-03-29 09:47 查看: 395 次反馈同步训练

课外阅读：交错调和级数

> 交错调和技术是无穷级数研究的重要内容。本节内容涉及到导数，积分，求极限等内容，可以参考后面教程

人类很早就解决了调和级数的敛散性问题，在上面一阶，介绍了调和级数，知道他是发散的，但是对交错调和级数，则花费了几百年的时间才解决。

##  从$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots $说起

在十七世纪时，无穷级数理论还不成熟，解决交错级数一直是一个难题，比如
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$
我们令其和为S，那么S为多少呢？

### 解决方法一
一些数学家这样求S
$S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$，现在开始加括号

$S_1=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ (\frac{1}{5}-\frac{1}{6})\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$

也就是每两项加一个括号，容易知道第一项为$\frac{1}{2}$，而后面每项都大于0，所以总和肯定是$S_1>\frac{1}{2}$.

但是，我们也可以这样打括号

$S_2=1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{4})-\frac{1}{5})-(\frac{1}{6}...)\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$
容易看到第一项为1，后面每一项都是大于零的，所以
$S_2<1$, 以上可以得到

$\frac{1}{2} < S < 1 $

### 解决方法二
一些数学家说不对，应该这样计算S
把数列里的奇数项和偶数项分别提取出来，然后加括号，则是
$S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})-(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{6})+\cdots ...(1)$

如果令
$S_奇= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...$
$S_偶= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...$

则所求的$S=S_奇-S_偶 ...(2)$

如果把（1）式调整一下顺序，后面偶数项都有一个公因子$\frac{1}{2}$ 则有

$S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})-  \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots) ...(3) $

(3)后一项又是$S_奇+S_偶$ 所以（3）式又可以写成
$S=S_奇 -\frac{1}{2} (S_奇+S_偶)

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