最后更新: 2025-03-29 09:47 查看: 275 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

课外阅读：交错调和级数

> 交错调和技术是无穷级数研究的重要内容。本节内容涉及到导数，积分，求极限等内容，可以参考后面教程

人类很早就解决了调和级数的敛散性问题，在上面一阶，介绍了调和级数，知道他是发散的，但是对交错调和级数，则花费了几百年的时间才解决。

##  从$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots $说起

在十七世纪时，无穷级数理论还不成熟，解决交错级数一直是一个难题，比如
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$
我们令其和为S，那么S为多少呢？

### 解决方法一
一些数学家这样求S
$S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$，现在开始加括号

$S_1=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ (\frac{1}{5}-\frac{1}{6})\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$

也就是每两项加一个括号，容易知道第一项为$\frac{1}{2}$，而后面每项都大于0，所以总和肯定是$S_1>\frac{1}{2}$.

但是，我们也可以这样打括号

$S_2=1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{4})-\frac{1}{5})-(\frac{1}{6}...)\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots$
容易看到第一项为1，后面每一项都是大于零的，所以
$S_2<1$, 以上可以得到

$\frac{1}{2} < S < 1 $

### 解决方法二
一些数学家说不对，应该这样计算S
把数列里的奇数项和偶数项分别提取出来，然后加括号，则是
$S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})-(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{6})+\cdots ...(1)$

如果令
$S_奇= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...$
$S_偶= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...$

则所求的$S=S_奇-S_偶 ...(2)$

如果把（1）式调整一下顺序，后面偶数项都有一个公因子$\frac{1}{2}$ 则有

$S=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})-  \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots) ...(3) $

(3)后一项又是$S_奇+S_偶$ 所以（3）式又可以写成
$S=S_奇 -\frac{1}{2} (S_奇+S_偶) ...（4）$

比较(2)和(4) 所以有
$S_奇-S_偶=S_奇 -\frac{1}{2} (S_奇+S_偶) ...（5）$

由（5）可得到 $S_奇=S_偶$

很明显$S_奇=\infty$,$S_偶=\infty$

所以$S=0$ 或 $S=\infty$ 。

上面两种解法，一个说交错调和级数有界，一个说交错调和级数无穷大。所以，这个问题让当时数学家感觉非常的困惑。这个问题就被推送到莱布尼兹那里。

## 莱布尼兹解决办法

莱布尼兹首先构造了一个数列：
$[1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{6} ...]$

上面的和$S$就是这个数列的求和。接下来莱布尼兹构造一个函数
$F(x)=1*x^1- \frac{1}{2} x^2 +\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{4}x^4... (a)$

这就是**生成函数**.

现在对$f(x)$求导
$F'(x)=x^0-x^1+x^2-x^3.... (1) $
这个导数不就是等比数列求和吗？左右两边乘以$x$得
$xF'(x)=x^1-x^2+x^3-x^4....(2)$

把（1）和（2）相加
所以 $F'(x)+xF'(x)=1 ...(3) $

所以得到
$F'(x)=\frac{1}{1+x} ...(4)$

看一下右端，这不就是
$\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x}dx=ln(1+x) C$

即
$F(x)= ln(1+x) ...(5)$

比较(a)（5），令$x=1$,可以得到值为$ln2$ 所以

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots = ln2$

在莱布尼茨研究交错调和级数时，还得到两个**重要结论**：

(1) $u_n \geq u_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ，
则交错级数收玫，且收玫和 $s \leq u_1$.

这被称为[莱布尼兹定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=441)

> 上面这个故事告诉我们：对于交错性级数，括号不能随便添加。只有满足 $\lim a_n=0$ 且各项绝对收敛的，才能任意加括号。

上面这个结论请记住。

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