最后更新: 2025-01-06 12:28 查看: 296 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复数的开方与虚根成对定理

## 复数的开方

开方是乘方的逆运算, 求一个复数 $a+b i$ 的 $n$ 次方根, 就是求一个数 $z$,使得 $z^n=a+b i$. 凡满足这一等式的数 $z$, 就叫做复数 $a+b i$ 的 $n$ 次方根.

设 $a+b i=r(\cos \theta+i \sin \theta), z=\rho(\cos \varphi+i \sin \varphi)$, 则对于任意自然数 $n$,都有

$$
r(\cos \theta+i \sin \theta)=[\rho(\cos \varphi+i \sin \varphi)]^n=\rho^n(\cos n \varphi+i \sin n \varphi)
$$

由于两复数相等, 它们的模相等, 而它们的幅角可以相差 $2 \pi$ 的整数倍, 所以

$$
\left\{\begin{array}{l}
\rho^n=r \\
n \varphi=\theta+2 k \pi \quad(k \in \mathbb{Z})
\end{array}\right.
$$

因而可得

$$
\rho=\sqrt[n]{r}, \quad \varphi=\frac{\theta+2 k \pi}{n}
$$

因此, 复数 $r(\cos \theta+i \sin \theta)$ 的 $n$ 次方根是

$$
\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{2 k \pi+\theta}{n}+i \sin \frac{2 k \pi+\theta}{n}\right)
$$

其中, 当 $k=0,1, \ldots, n-1$ 各值时, 可以得到上式的 $n$ 个不同值; 当 $k$ 继续取 $n, n+1, \ldots$ 以及其它的值时, 由于正弦、余弦函数都是以 $2 \pi$ 为周期, 上式的值又重复出现 $k$ 取 $0,1, \ldots, n-1$ 时的同样结果。所以，复数的 $n$ 次 $(n \in \mathbb{N})$

方根是 $n$ 个复数, 它们的模都等于这个复数的模的 $n$ 次算术根, 它们的幅角分别等于这个复数的幅角与 $2 \pi$ 的 $0,1, \ldots, n-1$ 倍的和的 $n$ 分之一。即

$$
\sqrt[n]{r(\cos \theta+i \sin \theta)}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\theta+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\theta+2 k \pi}{n}\right) \quad(k=0,1, \ldots, n-1)
$$

注意：在复数范围内， $\sqrt[n]{z}$ 应表示 $n$ 个复数，这 $n$ 个复数都是 $z$ 的 $n$ 次方根，为了区别于在实数范围内， $\sqrt[n]{z}$ 仅表示算术根，我们约定：被开方数是实数时， $\sqrt[n]{z}(a \in \mathbb{R})$ 仍表示算术根 (单值), $\sqrt[n]{a+0 i}$ 或 $\sqrt[n]{a(\cos 0+i \sin 0)}(a>0)$ 或 $\sqrt[n]{|a|(\cos \pi+i \sin \pi)}$ 都表示 $n$ 个 $n$ 次方根（多值）. 至于被开方数是虚数时, $\sqrt[n]{a+b i}(b \neq 0)$ 或 $\sqrt[n]{r(\cos \theta+i \sin \theta)}$ 都表示 $n$ 个方根。

`例`求 $i$ 的平方根.
解:

$$
\begin{aligned}
& \because \quad i=\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2} \\
& \therefore \quad \sqrt{i}=\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{2}+i \sin \frac{\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{2}=\cos \left(\frac{\pi}{4}+k \pi\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+k \pi\right) \quad(k=
\end{aligned}
$$

$0,1)$
因此, $i$ 的平方根是

$$
\begin{array}{cc}
z_1=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i & (k=0 \text { 时 }) \\
z_2=\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i & (k=1 \text { 时 })
\end{array}
$$

`例` 求 $-1+i$ 的四次方根.
解: $\because \quad-1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$

$$
\therefore \quad \sqrt[4]{-1+i}=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi}{4}+i \sin \frac{\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi}{4}\right) \quad(k=0,1,2,3)
$$

因此, $-1+i$ 的四次方根是:

$$
\begin{array}{rr}
z_1=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{16}+i \sin \frac{3 \pi}{16}\right) & (k=0) \\
z_2=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{11 \pi}{16}+i \sin \frac{11 \pi}{16}\right) & (k=1) \\
z_3=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{19 \pi}{16}+i \sin \frac{19 \pi}{16}\right) & (k=2) \\
z_4=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{27 \pi}{16}+i \sin \frac{27 \pi}{16}\right) & (k=3)
\end{array}
$$

`例` 求 -3 的平方根.

解: $\because \quad-3=3(\cos \pi+i \sin \pi)$

$$
\therefore \quad \sqrt{-3+0 i}=\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi+2 k \pi}{2}+i \sin \frac{\pi+2 k \pi}{

其他版本
【复变函数与积分变换】幂函数（复数）【复变函数与积分变换】复数的指数表示

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：共轭复数的三角形式

下一篇：复数的指数表示

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)