最后更新: 2025-02-13 11:49 查看: 149 次反馈同步训练

共轭复数的三角形式

## 共轭复数的三角形式
一般的有

$$
[r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)]^n=r^n[\cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)] .
$$

一般地, 如果非零复数 $z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)$, 那么 $-\theta$ 是 $\bar{z}$ 的一个辐角,因此

$$
\boxed{
\bar{z}=r[\cos (-\theta)+\mathrm{i} \sin (-\theta)]
}
$$

而且

$$
\begin{aligned}
z \bar{z} & =r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \times r[\cos (-\theta)+\mathrm{i} \sin (-\theta)] \\
& =r^2[\cos (\theta-\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta-\theta)]=r^2,
\end{aligned}
$$

所以 $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{r^2}$, 即

$$
\frac{1}{r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)}=\frac{1}{r}[\cos (-\theta)+\mathrm{i} \sin (-\theta)] .
$$

这样一来, 如果 $z_1=r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right), z_2=r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)\left(z_2 \neq\right.$ $0)$, 则

$$
\begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2} & =z_1 \times \frac{1}{z_2}=r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right) \times \frac{1}{r_2}\left[\cos \left(-\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\theta_2\right)\right] \\
& =\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right],
\end{aligned}
$$

即

$$
\frac{r_1\left(\cos \theta_1+\mathrm{i} \sin \theta_1\right)}{r_2\left(\cos \theta_2+\mathrm{i} \sin \theta_2\right)}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+\m

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