最后更新: 2025-02-13 11:47 查看: 137 次反馈刷题

复数乘除的几何意义与复数旋转任意角度

### 复数乘法的几何意义
根据复数乘除的公式

即

$$
\boxed{
z1 \cdot z2= \\ 
r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right] .
}
$$

和

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\frac{z_1}{z_2}   
& =\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right]
\end{aligned}
}
$$

联系复数的向量表示, 我们可以给出两复数相乘的几何意义:

两复数 $z_1=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right)$ 与 $z_2=r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right)$ 相乘时, 可以先在复平面上画出它们对应的向量 $\overrightarrow{O Z_1}, \overrightarrow{O Z_2}$, 然后将 $\overrightarrow{O Z_1}$ 旋转一个角 $\left|\theta_2\right|$ (若 $\theta_2>0$ 时, 就按逆时针方向旋转 $\overrightarrow{O Z_1}$ ；若 $\theta_2<0$ 时, 就按顺时针方向旋转 $\overrightarrow{O Z_1}$ )，再把它的模变为原来的 $r_2$ 倍，就可得到向量 $\overrightarrow{O Z}$ （图 1.9 所示），这一向量就对应着所求两复数的积.

![图片](/uploads/2024-09/adb718.jpg)

又因为 $\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}=i$, 所以一个复数与 $i$ 相乘, 从向量的角度来说, 就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$, 即

>一个数乘以$i$相当于逆时针旋转90度

## 复数旋转任意角度
上面得到一个复数乘以$i$为原复数旋转$90^{\circ}$，接下来有一个问题：一个复数旋转任意角度$\theta$ 怎么表示呢？

我们将使用向量来研究这个问题。如图 3.4－4，把复数 $z$ 对应的向量 $\overrightarrow{O P}$ 旋转角 $\alpha$ 得到 $\overrightarrow{O P^{\prime}}$ ，把 $\overrightarrow{O P}$ 旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\overrightarrow{O Q}$ ，则由平面向量基本定理可知， $\overrightarrow{O P'}$ 可写成 $\overrightarrow{O P}, \overrightarrow{O Q}$ 方向上的单位向量 $e _1, e_2$ 的实数倍之和，即 $\overrightarrow{O P^{\prime}}=a e _1+b e _2$ 。

因为向量旋转，他的模不变，只是角度改变，所以可以设 $r=|O P|$ ，则 $\left|O P^{\prime}\right|=|O Q|=r, \overrightarrow{O P}=r e_1, \overrightarrow{O Q}=r e_2$

![图片](/uploads/2025-01/067477.jpg)．

所以

$$
\cos \alpha=\frac{a}{r}, \sin \alpha=\frac{b}{r},
$$

即

$$
a=r \cos \alpha, b=r \sin \alpha .
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P^{\prime}} & =(r \cos \alpha) e _1+(r \sin \alpha) e _2 \\
& =\cos \alpha \cdot \overrightarrow{O P}+\sin \alpha \cdot \overrightarrow{O Q}
\end{aligned}
$$

所以 $\overrightarrow{O P}$＇对应的复数为 $\cos \alpha \cdot z+\sin \alpha \cdot i z$ ，可看作是由 $\cos \alpha+ i \sin \alpha$ 乘 $z$ 得到的．

由此得到一个结论：

> 用 $\cos \alpha+ i \sin \alpha$ 乘任意复数 $z$ ，其几何意义是：将复数 $z$ 对应的平面向量旋转角 $\alpha$ ．

`例` 计算 $\left(\cos 45^{\circ}+i \sin 45^{\circ}\right)^2$ ；
解：设 $w=\cos 45^{\circ}+i \sin 45^{\circ}$ ，则用 $w$ 乘任意复数 $z$ ，其几何意义是将 $z$ 对应的向量旋转 $45^{\circ}$ ．于是，用 $w^2$ 乘 $z$ 的几何意义是将 $z$ 对应的向量连续旋转两个 $45^{\circ}$ ，也就是将 $z$ 对应的向量旋转 $90^{\circ}$ ．又由虚数单位 i 乘任意复数 $z$ 的几何意义可知，

$$
w^2=i \text {, 即 }\left(\cos 45^{\circ}+i \sin 45^{\circ}\right)^2=i \text {. }
$$

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