最后更新: 2025-02-13 11:39 查看: 76 次反馈刷题

复数的乘方与棣莫弗定理

## 复数的乘方与棣莫弗定理
对于$n$个复数相乘，可用数学归纳法证明
$$
\begin{aligned}
& z_1 \cdot z_2 \cdots z_n=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \cdot r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\
& \cdots r_n\left(\cos \theta_n+i \sin \theta_n\right) \\
& =r_1 \cdot r_2 \cdots r_n\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n\right)\right.  \left.+i \sin \left(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n\right)\right]
\end{aligned} 
$$

## 棣莫弗定理
在上边的推论中, 如果 $z_1=z_2=\cdots=z_n=z$, 即 $r_1=r_2=\cdots=r_n=r$且 $\theta_1=\theta_2=\cdots=\theta_n=\theta$. 也就是说有 $n$ 个相同的复数相乘时, 那么就得到:

$$
\boxed{
[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+i \sin n \theta) \quad(n \in \mathbb{N})
}
$$

这就是著名的棣莫弗定理.

`例` 计算: $\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right) \cdot \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)$
 解: 由乘法定理可知：
 原式=
$$
\begin{aligned}
& =\sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}\right)\right] \\
& =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \\
& =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=1+i
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\sqrt{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}\right)\right]\\
&=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\\
&=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=1+i
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $(1-i)^{10}$

解: 先将 $1-i$ 化为三角形式:

$$
1-i=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]
$$

由棣美佛定理, 得

$$
\begin{aligned}
(1-i)^{10} & =\left[\sqrt{2}\left(\cos \frac{-\pi}{4}+i \sin \frac{-\pi}{4}\right)\right]^{10} \\
& =(\sqrt{2})^{10} \cdot\left[\cos \left(-\frac{5 \pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{5 \pi}{2}\right)\right] \\
& =2^5\left(\cos \frac{\pi}{2}-i \sin \frac{\pi}{2}\right)=-32 i
\end{aligned}
$$

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