最后更新: 2025-02-09 10:08 查看: 115 次反馈刷题

欧拉公式的证明

## 欧拉公式的证明
大家熟悉的指数函数 $f(x)= e ^x$ 在复平面上有自然且特别有用的推广．实际上，复函数 $e ^z$ 对于复变量在电子电路，控制系统，波传导以及一般时滞物理系统中的应用提供了一个基本工具。

为了在 $z=x+ i y$ 时给出 $e ^z$ 的合适定义，我们希望它能保持实函数 $e ^x$ 具有的一些基本性质。因此，当$e^x$拓展到$e^z$时，**首先要求乘法性质应该保持不变**：

$$
e^{z_1} e^{z_2}=e^{z_1+z_2}  ....(1)
$$

问题相当简单，鉴于方程（1）有分解

$$
e^z=e^{x+i y}=e^x e^{i y} ...(2)
$$

因此，为了定义 $e^z$ ，仅需确定 $e^{i y}$（换句话说，只要我们弄清楚如何对纯虚数取幂，就能够对复数取幂）。

其次，因为$(e^x)'=e^x$ 所以，当他推广到$e^z$时，也必须有$(e^z)'=e^z$ ,现在假定根据求导法则

$$
\dfrac{de^z}{d z}=e^z ...(3)
$$

成立．关于复变量 $z=x+ i y$ 求导，由方程（2）的因子分解，（现在）只需要考虑方程（3）的一种特殊情形，即

$$
\dfrac{d e^{i y}}{d(i y)}=e^{i y}
$$

或者，等价于（链式法则）

$$
\dfrac{de^{i y}}{d y}=ie^{i y}  ...(4)
$$

如果再求导一次，方程（4）的结论就变得更加直观．

$$
\dfrac{d^2 e^{iy}}{d y^2}=\dfrac{d}{d y}\left(i e^{i y}\right)=i^2 e^{iy}=-e^{iy} 
$$

换句话说，函数 $g(y)= e ^{ i y}$ 适合微分方程

$$
\dfrac{d^2 g}{d y^2}=-g ...(5)
$$

由此看来任何形如

$$
A \cos y+B \sin y \quad(A, B \text { 为常数 })
$$

的函数都满足方程（5）。事实上，由[微分方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=344)理论可知，方程（5）的任何解都必定有这种形式．从而，我们有

$$
g(y)=A \cos y+B \sin y ...(6)
$$

下面确定 $A$ 和 $B$ 的值．由条件

$$
g(0)=e^{i 0}=e^0=1=A \cos 0+B \sin 0
$$

及

$$
\dfrac{d g}{d y}(0)=i g(0)=i=-A \sin 0+B \cos 0
$$

可得 $A=1, B= i$ ．于是有

$$
\boxed{
e^{iy}=\cos y+i \sin y . ...(7)
}
$$

方程（7）称为欧拉（Euler）方程 ．由方程（7）和（2），可得到下面的公式．

定义:  $e ^{x+iy}$ 为复数

$$
e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i \sin y) .
$$

即
$$
\boxed{
e^{x+iy}=e^x(\cos y+i \sin y) 
}
$$

由此定义不难直接验证 $e ^z$ 满足指数函数常见的代数性质，特别是乘法恒等式（1）以及与它相关的除法法则，即

$$
\boxed{
\dfrac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=e^{z_1-z_2}
}
$$

接下来，容易再次验证，该函数满足“柯西-黎曼方程”，由此的正。

上面推导的欧拉公式为现代数学给出的严谨证明，我们不知道欧拉当初怎么推导出欧拉公式的，但是大部分人都认为，欧拉是利用泰勒展开得到欧拉公式的，请看下面的例子。

`例`证明欧拉方程形式上由通常的泰勒（Taylor）级数展式组成：

$$
\begin{aligned}
e^x & =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots, \\
\cos x & =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots, \\
\sin x & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots .
\end{aligned}
$$

证 后面我们将详细研究复函数的级数表示．现在不考虑级数的收玫等问题，只是简单地把 $x= i y$ 替换进指数级数：

$$
\begin{aligned}
e^{i y} & =1+i y+\frac{(i y)^2}{2!}+\frac{(i y)^3}{3!}+\frac{(i y)^4}{4!}+\frac{(i y)^5}{5!}+\cdots \\
& =\left(1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots\right) \\
& =\cos y+i \sin y .
\end{aligned}
$$

由欧拉方程（7），复数的极形式可写为
$$
z=r \operatorname{cis} \theta=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta} .
$$

从而可以抛弃笨拙的技巧而使用通常的极表示，

$$
z=r e^{i \theta}=|z| e^{iarag g} .
$$

特别地，注意到下面的恒等式

$$
\begin{gathered}
e^{i 0}=e^{2 \pi i}=e^{-2 \pi i}=e^{4 \pi i}=e^{-4 \pi i}=\cdots=1, \\
e^{(\pi / 2) i}=i\\ \quad e^{(-\pi / 2) i}=-i, \\\quad e^{\pi i}=-1
\end{gathered}
$$

数学系的学生（包括欧拉本人）常对最后的$e^{\pi i}=-1$恒等式感到惊奇，因为他只要移项就得到
$$
\boxed{
e^{\pi i}+1=0
}
$$

他把自然界里$e,i,\pi,1,0$ 完美的联系在了一起，被称为最美的公式。

显然，由 $\left|e^{\text {iargz }}\right|=1$ 和欧拉方程可得下面通常的三角函数表示式：

$$
\begin{aligned}
& \cos \theta=\text { Ree }^{i \theta}=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} \\
& \sin \theta=\operatorname{Im} e^{i \theta}=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}
\end{aligned}
$$

其他版本
【高中数学】附录：平面的欧拉公式【高等数学】欧拉方程【高中数学】欧拉公式与推导【离散数学】欧拉图和半欧拉图

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：复数模的三角不等式

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)