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欧拉公式的证明

##  欧拉公式的证法1
大家熟悉的指数函数 $f(x)= e ^x$ 在复平面上有自然且特别有用的推广．实际上，复函数 $e ^z$ 对于复变量在电子电路，控制系统，波传导以及一般时滞物理系统中的应用提供了一个基本工具。

为了在 $z=x+ i y$ 时给出 $e ^z$ 的合适定义，**我们希望它能保持实函数 $e ^x$ 具有的一些基本性质**。因此，当实数$e^x$拓展复数到$e^z$时，**首先要求乘法性质应该保持不变**： 即应该满足下面两个（1）和（3）两个条件。

$$
e^{z_1} e^{z_2}=e^{z_1+z_2}  ....(1)
$$

上面（1）问题相当简单，鉴于方程（1）可以分解为

$$
e^z=e^{x+i y}=e^x e^{i y} ...(2)
$$

因此，为了定义 $e^z$ ，仅需确定 $e^{i y}$（换句话说，只要我们弄清楚如何对纯虚数取幂，就能够对复数取幂）。

其次，因为$(e^x)'=e^x$ 所以，当他推广到$e^z$时，也必须有$(e^z)'=e^z$ ,现在假定根据求导法则

$$
\dfrac{de^z}{d z}=e^z ...(3)
$$

成立．关于复变量 $z=x+ i y$ 求导，由方程（2）的因子分解，（现在）只需要考虑方程（3）的一种特殊情形，即

$$
\dfrac{d e^{i y}}{d(i y)}=e^{i y}
$$

或者，等价于（链式法则）

$$
\dfrac{de^{i y}}{d y}=ie^{i y}  ...(4)
$$

如果再求导一次，方程（4）的结论就变得更加直观．

$$
\dfrac{d^2 e^{iy}}{d y^2}=\dfrac{d}{d y}\left(i e^{i y}\right)=i^2 e^{iy}=-e^{iy} 
$$

换句话说，函数 $g(y)= e ^{ i y}$ 适合微分方程

$$
\dfrac{d^2 g}{d y^2}=-g ...(5)
$$

由此看来任何形如

$$
A \cos y+B \sin y \quad(A, B \text { 为常数 })
$$

的函数都满足方程（5）。事实上，由[微分方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=344)理论可知，方程（5）的任何解都必定有这种形式．从而，我们有

$$
g(y)=A \cos y+B \sin y ...(6)
$$

下面确定 $A$ 和 $B$ 的值．由条件

$$
g(0)=e^{i 0}=e^0=1=A \cos 0+B \sin 0
$$

及

$$
\dfrac{d g}{d y}(0)=i g(0)=i=-A \sin 0+B \cos 0
$$

可得 $A=1, B= i$ ．于是有

$$
\boxed{
e^{iy}=\cos y+i \sin y . ...(7)
}
$$

方程（7）称为欧拉（Euler）方程 ．由方程（7）和（2），可得到下面的公式．

定义:  $e ^{x+iy}$ 为复数

$$
e^{x+iy}=

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