最后更新: 2025-01-11 17:01 查看: 80 次反馈刷题

复数模的三角不等式

## 复数模的三角不等式

## 几个关系
(1) $|\operatorname{Re} z| \leq|z|, \quad|\operatorname{Im} z| \leq|z|$.
![图片](/uploads/2023-11/image_202311187bc0951.png)

(2) ||$z_1|-| z_2|| \leq\left|z_1 \pm z_2\right| \leq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$.
 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118e895265.png)

(3) $|z|=|\bar{z}|$;

$\arg z=-\arg \bar{z},(\arg z \neq \pi) ; $
$  |z|^2=z \cdot \bar{z} .$
![图片](/uploads/2023-11/image_202311189253566.png)

$$
\text { 证 } \begin{aligned}
\left|z_1+z_2\right|^2 & =\left(z_1+z_2\right)\left(\overline{z_1+z_2}\right)=\left(z_1+z_2\right)\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2\right) \\
& =\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 \\
& =\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+2 \operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right) \\
& \leq\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+2\left|\operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right)\right| \\
& \leq\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+2\left|z_1\right| \cdot\left|z_2\right|=\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)^2 .
\end{aligned}
$$

利用复数与向量的关系，可以证明一些几何问题
比如，上例证明的结论可描述为：
三角形的两边之和大于等于第三边。

![图片](/uploads/2023-11/image_2023111878b65f8.png)
 
 
 `例`若 $|a|<1,|b|<1$ ，试证

$$
\left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right|<1
$$

证 两端平方，比较 $\left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right|^2$ 与 1 的大小，即比较 $|a-b|^2$ 与 $|1-\bar{a} b|^2$ 的大小．由上例可知

$$
\begin{aligned}
|a-b|^2 & =|a|^2+|b|^2-2 \operatorname{Re}(\bar{a} b) \\
|1-\bar{a} b|^2 & =1+|a|^2|b|^2-2 \operatorname{Re}(\bar{a} b)
\end{aligned}
$$

则

$$
\begin{aligned}
I & =|1-\bar{a} b|^2-|a-b|^2=1+|a|^2|b|^2-|a|^2-|b|^2 \\
& =\left(1-|a|^2\right)\left(1-|b|^2\right) .
\end{aligned}
$$

由假设 $|a|<1,|b|<1$ ，则 $I>0$ ，故得证．

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