最后更新: 2025-07-23 17:06 查看: 324 次反馈同步训练

一个复数的三种表示

## 一个复数的三种表示
复数常有三种表示方法：
(1)代数式：$a+bi$
(2)三角形式：$r(cos\theta+isin \theta)$
(3)指数形式：$re^{i\theta}$

因此，对于给定一个复数，要能迅速写出另外两种复数的表示。
事实上，如果结合向量，一个复数$c$可以有四种表达方式，列表如下：

|符号名称|算数表达|说明|
|----|----|----|
|矩形形式 | $c=a+b j$ | 用于解释目的。最容易理解（也称笛卡尔形式）|
|三角函数形式 | $c=M[\cos (\phi)+j \sin (\phi)]$ | 通常用于描述通信系统中的正交信号|
|极坐标形式| $c=M e^{j \phi}$ | 最令人费解，但却是数学中使用的主要形式（也称为指数形式，有时写为 $M \exp (j \phi)$ ）|
|幅度角形式| $c=M \angle \phi$ | 用于描述目的，但在代数方程中使用太麻烦|

`例`求复数

$$
w=\frac{1+z}{1-z} \quad(\text { 复数 } z \neq 1)
$$

的实部，虚部和模。
解 因为

$$
\begin{aligned}
w & =\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)(1-\bar{z})}{(1-z) \overline{(1-z)}}=\frac{1-z \bar{z}+z-\bar{z}}{|1-z|^2} \\
& =\frac{1-|z|^2+2 \operatorname{iIm} z}{|1-z|^2},
\end{aligned}
$$

所以

$$
\operatorname{Re} w=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}, \quad \operatorname{Im} w=\frac{2 \operatorname{Im} z}{|1-z|^2}
$$

又因为

$$
\begin{aligned}
|w|^2 & =w \bar{w}=\frac{1+z}{1-z} \cdot \frac{1+\bar{z}}{\overline{1-z}}=\frac{1+z \bar{z}+z+\bar{z}}{|1-z|^2} \\
& =\frac{1+|z|^2+2 \operatorname{Re} z}{|1-z|^2}
\end{aligned}
$$

所以

$$
|w|=\frac{\sqrt{1+|z|^2+2 \operatorname{Re} z}}{|1-z|}
$$

`例` 将复数

$$
1-\cos \varphi+i \sin \varphi \quad(0<\varphi \leqslant \pi)
$$ 
化为指数形式．

解 原式=

$$
  \begin{aligned}
& =2 \sin ^2 \frac{\varphi}{2}+2 i \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}=2 \sin \frac{\varphi}{2}\left(\sin \frac{\varphi}{2}+i \cos \frac{\varphi}{2}\right) \\
& =2 \sin \frac{\varphi}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)\right]=2 \sin \frac{\varphi}{2} e^{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right) i} .
\end{aligned}
$$

当 $z=x+ i y \neq 0$ 时，记 $\arg z=\theta$（主值），则

$$
\tan \frac{\theta}{2}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\frac{r \sin \theta}{r+r \cos \theta}=\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}},
$$

所以

$$
\arg z=\theta(\text { 主值 })=2 \arctan \frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \text {. }
$$

`例` 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+ i }{2}\right)^n$ ．

分析 前面说过，对复数的乘方，用复数的三角表示计算最简捷．
解一由 $1+ i =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+ i \sin \frac{\pi}{4}\right)$ ，得

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty}\lef

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