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一个复数的三种表示★★★★★

## 一个复数的三种表示
复数常有三种表示方法：
(1)代数形式：$a+bi$
(2)三角形式：$r(cos\theta+isin \theta)$
(3)指数形式：$re^{i\theta}$
 
下表列出了各形式的常见适用场景
| 形式 | 核心运算优势 | 适用场景 |
|----------|--------------|----------|
| 代数形式 | 加减运算（实部、虚部分别相加减） | 复数加减、解方程、基础定义表达 |
| 三角形式 | 乘除、乘方（棣莫弗公式）、开方 | 复数的几何变换（旋转、缩放）、三角运算结合 |
| 指数形式 | 乘除、乘方开方（指数运算法则）、复分析 | 高等数学（复变函数）、物理（波动、电路）、工程计算 |

##  基础例题(三种形式互相转换)
稍微注意一下辐角主值，见下表
![img-text](/uploads/2026-01/56ee22.jpg)

### 一、第一象限复数（$a>0, b>0$）
`例`$z=1+\sqrt{3}i$
1. 代数形式：$z=1+\sqrt{3}i$（$a=1, b=\sqrt{3}$）
2. 求模：$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$
3. 求辐角主值：$\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，第一象限→$\theta=\frac{\pi}{3}$
4. 三角形式：$z=2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$
5. 指数形式：$z=2e^{i\frac{\pi}{3}}$
6. 反向转化（三角→代数）：$2\cos\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{3}i = 2\times\frac{1}{2} + 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}i = 1+\sqrt{3}i$

### 第二象限复数（$a<0, b>0$）
 `例`$z=-1+\sqrt{3}i$
1. 代数形式：$z=-1+\sqrt{3}i$（$a=-1, b=\sqrt{3}$）
2. 求模：$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$
3. 求辐角主值：$\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$，第二象限→$\theta=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$
4. 三角形式：$z=2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$
5. 指数形式：$z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$
6. 反向转化：$2\cos\frac{2\pi}{3} + 2\sin\frac{2\pi}{3}i = 2\times(-\frac{1}{2}) + 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}i = -1+\sqrt{3}i$

### 第三象限复数（$a<0, b<0$）
`例` $z=-1-i$
1. 代数形式：$z=-1-i$（$a=-1, b=-1$）
2. 求模：$r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$
3. 求辐角主值：$\tan\theta=\frac{-1}{-1}=1$，第三象限→$\theta=-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}$
4. 三角形式：$z=\sqrt{2}\left(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4})\right)$（也可写$\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right)$，主值取负角）
5. 指数形式：$z=\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$
6. 反向转化：$\sqrt{2}\cos(-\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{2}\sin(-\frac{3\pi}{4})i = \sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})i = -1-i$

### 第四象限复数（$a>0, b<0$）
`例`$z=2-2i$
1. 代数形式：$z=2-2i$（$a=2, b=-2$）
2. 求模：$r=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
3. 求辐角主值：$\tan\theta=\frac{-2}{2}=-1$，第四象限→$\theta=-\frac{\pi}{4}$
4. 三角形式：$z=2\sqrt{2}\left(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})\right)$
5. 指数形式：$z=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$
6. 反向转化：$2\sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4}) + 2\sqrt{2}\sin(-\frac{\pi}{4})i = 2\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})i = 2-2i$

### 特殊情况
`例`正实数$z=3$（$a=3, b=0$）
1. 代数形式：$z=3$
2. 求模：$r=\sqrt{3^2+0^2}=3$
3. 求辐角主值：在实轴正方向→$\theta=0$
4. 三角形式：$z=3(\cos0 + i\sin0)$
5. 指数形式：$z=3e^{i0}$

`例`负实数$z=-2$（$a=-2, b=0$）
1. 代数形式：$z=-2$
2. 求模：$r=\sqrt{(-2)^2+0^2}=2$
3. 求辐角主值：在实轴负方向→$\theta=\pi$
4. 三角形式：$z=2(\cos\pi + i\sin\pi)$
5. 指数形式：$z=2e^{i\pi}$

`例` 正纯虚数$z=4i$（$a=0, b=4$）
1. 代数形式：$z=4i$
2. 求模：$r=\sqrt{0^2+4^2}=4$
3. 求辐角主值：在虚轴正方向→$\theta=\frac{\pi}{2}$
4. 三角形式：$z=4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$
5. 指数形式：$z=4e^{i\frac{\pi}{2}}$

`例`负纯虚数$z=-3i$（$a=0, b=-3$）
1. 代数形式：$z=-3i$
2. 求模：$r=\sqrt{0^2+(-3)^2}=3$
3. 求辐角主值：在虚轴负方向→$\theta=-\frac{\pi}{2}$
4. 三角形式：$z=3\left(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})\right)$
5. 指数形式：$z=3e^{-i\frac{\pi}{2}}$

#### 易错点提醒
1. 求辐角主值时，**不能仅看$\tan\theta$的结果**，必须结合$(a,b)$所在象限判断，如$\tan\theta=1$时，$\theta$可能是$\frac{\pi}{4}$（第一象限）或$-\frac{3\pi}{4}$（第三象限）；
2. 三角形式必须是**标准形式**：$r\geq0$，括号内为$\cos\theta + i\sin\theta$，比如$2(\sin\frac{\pi}{3}+i\cos\frac{\pi}{3})$不是标准形式，需先转化；
3. 辐角主值优先取 **$-\pi < \theta \leq \pi$** 的范围，第三、四象限建议用负角表示，更符合常规要求。

---

**三角/指数形式直接转代数（无原始代数形式）**

`例`三角形式$z=5\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$转代数
实部：$5\cos\frac{\pi}{6}=5\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，虚部：$5\sin\frac{\pi}{6}=5\times\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
→代数形式：$z=\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}i$

`例`指数形式$z=6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$转代数
先转三角：$6\left(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})\right)$
实部：$6\cos(-\frac{2\pi}{3})=6\times(-\frac{1}{2})=-3$，虚部：$6\sin(-\frac{2\pi}{3})=6\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-3\sqrt{3}$
→代数形式：$z=-3-3\sqrt{3}i$

## 例题
`例`求复数

$$
w=\frac{1+z}{1-z} \quad(\text { 复数 } z \neq 1)
$$

的实部，虚部和模。
解 因为

$$
\begin{aligned}
w & =\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)(1-\bar{z})}{(1-z) \overline{(1-z)}}=\frac{1-z \bar{z}+z-\bar{z}}{|1-z|^2} \\
& =\frac{1-|z|^2+2 \operatorname{iIm} z}{|1-z|^2},
\end{aligned}
$$

所以

$$
\operatorname{Re} w=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}, \quad \operatorname{Im} w=\frac{2 \operatorname{Im} z}{|1-z|^2}
$$

又因为

$$
\begin{aligned}
|w|^2 & =w \bar{w}=\frac{1+z}{1-z} \cdot \frac{1+\bar{z}}{\overline{1-z}}=\frac{1+z \bar{z}+z+\bar{z}}{|1-z|^2} \\
& =\frac{1+|z|^2+2 \operatorname{Re} z}{|1-z|^2}
\end{aligned}
$$

所以

$$
|w|=\frac{\sqrt{1+|z|^2+2 \operatorname{Re} z}}{|1-z|}
$$

`例`  将复数 $1-\cos \theta+i \sin \theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 化为三角表示式和指数表示式

解 此题如果直接求复数的模和辐角比较繁琐，而利用三角函数中的公式则比较简单

$$
1-\cos \theta+i \sin \theta=2 \sin \frac{\theta}{2}\left(\sin \frac{\theta}{2}+i \cos \frac{\theta}{2}\right)
$$

当 $\theta=0$ 时，$z=0$ ，故只考虑 $0<\theta \leqslant \pi$ 的情形，此时，由于 $0<\frac{\theta}{2} \leqslant \frac{\pi}{2}$ ，所以 $2 \sin \frac{\theta}{2}>0$ ，
可以作为该复数的模，再利用余角关系即可得

$$
z=2 \sin \frac{\theta}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)\right]=2 \sin \frac{\theta}{2} e^{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)} .
$$

`例` 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+ i }{2}\right)^n$ ．

分析 前面说过，对复数的乘方，用复数的三角表示计算最简捷．
解一由 $1+ i =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+ i \sin \frac{\pi}{4}\right)$ ，得

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+i}{2}\right)^n & =\lim _{n \rightarrow \infty} 2^{-\frac{n}{2}} \cos \frac{n \pi}{4}+i \lim _{n \rightarrow \infty} 2^{-\frac{n}{2}} \sin \frac{n \pi}{4} \\
& =0+i \cdot 0=0
\end{aligned}
$$

解二 因 $\left|\frac{1+ i }{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ ，故

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+i}{2}\right)^n=0
$$

不是每个复数都那么容易写出来的。请看下面例题

`例` 计算 $\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10}$ 的值．
解 先把括号中的复数化成三角形式

$$
1+\sqrt{3} i=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)
$$

$$
1-\sqrt{3} i=2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]
$$

再由复数的除法和求乘幂的方法，可得

$$
\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}=\frac{2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)}{2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]}=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi 
$$

$$
\begin{gathered}
原式=\left(\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi\right)^{10} \\
=\cos \frac{20}{3} \pi+i \sin \frac{20}{3} \pi \\

=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i
\end{gathered}
$$

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