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复变函数与积分变换
第一篇 复数的概念与表示
复数的指数表示
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更新:
2025-06-05 21:41
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复数的指数表示
## 复数的指数表示 利用欧拉公式 [欧拉公式证明](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1867) $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 可以得到 $$ \boxed{ z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \mathrm{e}^{i \theta} ...(1.7) . } $$ 容易验证 $$ \left.\begin{array}{l} e^{i \theta_1} e^{i \theta_2}=e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)} \\ \frac{e^{i \theta_1}}{e^{i \theta_2}}=e^{i\left(\theta_1-\theta_2\right)} \end{array}\right\} ...(1.8) $$ 利用公式（1．7），就可以把（1．6）改写成 $$ z=r e^{i \theta} . $$ 也就是说，任一非零复数 $z$ 总可以表示成 $$ z=|z| e^{\operatorname{iarg} z}, $$ 这里的 $\arg z$ 不必取主值． ### 定义 设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$ 为复数 $z$ 的指数表示式。 > 注意：在复数的
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