最后更新: 2026-01-28 21:27 查看: 199 次纠错评论(0) 课件开VIP

复数的指数表示

## 复数的指数表示

**定义** 设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$ 为复数 $z$ 的指数表示式。

> **注意：在复数的三角表示式与指数表示式中, 辐角不是唯一的,但习惯上一般取为主辐角。**

**几何意义** 利用欧拉公式 [欧拉公式证明](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1867) $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$  可以得到
$$
\boxed{
z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \mathrm{e}^{i \theta} ...(1.7) .
}
$$

容易验证

$$
\left.\begin{array}{l}
e^{i \theta_1} e^{i \theta_2}=e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)} \\
\frac{e^{i \theta_1}}{e^{i \theta_2}}=e^{i\left(\theta_1-\theta_2\right)}
\end{array}\right\} ...(1.8)
$$

利用公式（1.7），就可以把$z=x+iy$ 改写成

$$
z=r e^{i \theta} .
$$

也就是说，任一非零复数 $z$ 总可以表示成

$$
z=|z| e^{\operatorname{iarg} z},
$$

这里的 $\arg z$ 不必取主值．

#### 代数形式转指数形式
`例`已知 $z = 1 + i$，
1. 求模长：$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$；
2. 求辐角：$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$，主值 $\theta = \frac{\pi}{4}$；
3. 三角形式：$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$；
4. 指数形式：$z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$。

#### 指数形式转代数形式
已知 $z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$，
1. 由欧拉公式展开：$e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$；
2. 代数形式：$z = 2\times\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + \sqrt{3}i$。

## 例题
`例`写出复数 $z=-\sqrt{12}+2 i$ 的三角表示式与指数表示式。
解 $|z|=\sqrt{12+4}=4$,

$$
\begin{aligned}
\arg z & =\arctan \left(\frac{2}{-\sqrt{12}}\right)+\pi \\
& =-\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi \\
& =-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5 \pi}{6} .
\end{aligned}
$$

复数 $z$ 的三角表示式为 $z=4\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$.复数 $z$ 的指数表示式为 $z=4 \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{6} i}$.

`例`将 $z=-\sqrt{12}-2 \mathrm{i}$ 化成三角形式和指数形式．

解  $r=|z|=\sqrt{12+4}=4$ ．由于 $z$ 在第三象限，因此

$$
\arg z=\arctan \frac{-2}{-\sqrt{12}}-\pi=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5 \pi}{6} .
$$

故

$$
z=4\left[\cos \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right]=4 \mathrm{e}^{-\frac{5 \pi \mathrm{i}}{6}} .
$$

`例`将 $z=\sin \frac{\pi}{5}+\mathrm{i} \cos \frac{\pi}{5}$ 化成三角形式和指数形式．

解  $r=|z|=1$ ．由于 $z$ 在第一象限，因此

$$
\begin{gathered}
\arg z=\arctan \frac{\cos (\pi / 5)}{\sin (\pi / 5)}=\arctan \cot \frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}=\frac{3 \pi}{10} \\
z=\cos \frac{3 \pi}{10}+\mathrm{i} \sin \frac{3 \pi}{10}=\mathrm{e}^{\frac{3 \pi \mathrm{i}}{10}}
\end{gathered}
$$

另解．

$$
\begin{aligned}
z & =\sin \frac{\pi}{5}+\mathrm{i} \cos \frac{\pi}{5}=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right) \\
& =\cos \frac{3 \pi}{10}+\mathrm{i} \sin \frac{3 \pi}{10}=\mathrm{e}^{\frac{3 \pi i}{10}}
\end{aligned}
$$

`例`将 $z=\sqrt{3}-3 \mathrm{i}$ 化成三角形式和指数形式．

解： $z=2 \sqrt{3}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]=2 \sqrt{3} \mathrm{e}^{-\frac{\pi \mathrm{i}}{3}}$ ，写成 $\frac{5 \pi}{3}$ 也可以。

其他版本
【高中数学】复数的开方与虚根成对定理

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

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