最后更新: 2025-01-11 16:24 查看: 31 次反馈刷题

复数的指数表示

## 复数的指数表示

利用欧拉公式 [欧拉公式证明](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1867) $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$  可以得到
$$
\boxed{
z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \mathrm{e}^{i \theta} ...(1.7) .
}
$$

容易验证

$$
\left.\begin{array}{l}
e^{i \theta_1} e^{i \theta_2}=e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)} \\
\frac{e^{i \theta_1}}{e^{i \theta_2}}=e^{i\left(\theta_1-\theta_2\right)}
\end{array}\right\} ...(1.8)
$$

利用公式（1．7），就可以把（1．6）改写成

$$
z=r e^{i \theta} .
$$

也就是说，任一非零复数 $z$ 总可以表示成

$$
z=|z| e^{\operatorname{iarg} z},
$$

这里的 $\arg z$ 不必取主值．

### 定义 
设复数 $z \neq 0, r$ 是 $z$ 的模, $\theta$ 是 $z$ 的任意一个辐角,称 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$ 为复数 $z$ 的指数表示式。

> 注意：在复数的三角表示式与指数表示式中, 辐角不是唯一的,但习惯上一般取为主辐角。

`例`写出复数 $z=-\sqrt{12}+2 i$ 的三角表示式与指数表示式。
解 $|z|=\sqrt{12+4}=4$,

$$
\begin{aligned}
\arg z & =\arctan \left(\frac{2}{-\sqrt{12}}\right)+\pi \\
& =-\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi \\
& =-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5 \pi}{6} .
\end{aligned}
$$

复数 $z$ 的三角表示式为 $z=4\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)$.复数 $z$ 的指数表示式为 $z=4 \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{6} i}$.

`例` $1+i $ 化为三角表示与指数表示
解：三角表示为
$$
1+i   =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
$$
指数表示为
$$
1+i =\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i}
$$

其他版本
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