最后更新: 2025-06-27 15:52 查看: 272 次反馈同步训练

复数的指数表示乘除法

## 复数的指数表示乘除法

设 $z_1=r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1}, z_2=r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}$,
乘法 $z_1 \cdot z_2=r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1} \cdot r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2} =r_1 r_2 \mathrm{e}^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)} $ 
即 $\left|z_1 \cdot z_2\right|=\left|z_1\right| \cdot\left|z_2\right|$,

$\operatorname{Arg}\left(z_1 \cdot z_2\right)=\operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg} z_2$.

这表明：**两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;幅角等于它们幅角的和。**

从几何图形上看，两个复数$z_1, z_2$相乘，相当于把$z_1$旋转$\theta_2$ 角度，同时放大$z_2$ 倍。

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118ab486c7.png)

简单证明如下:
$$
\begin{aligned}
e^{i \theta_1} e^{i \theta_2} & =\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right)\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\
& =\left(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2\right)+i\left(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2\right) \\
& =\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)=e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)}
\end{aligned}
$$

#### 推论1 复数乘以$i$表示逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$
 $i z$ 相当于将 $z$ 所对应的向量 $\overrightarrow{O z}$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$ ．这里 i 称为**旋转乘数**．

#### 推论2 复数乘以$e^{i \theta}$ 表示逆时针旋转 ${\theta}$
这是因为 $e^{i \theta}$ 的模长为1，相当于模没有改变，值改不了角度。

## 利用指数表示复数的除法

设 $z_1=r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1}, z_2=r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}$,
除法 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1 \mathrm{e}^{i \theta_1}}{r_2 \mathrm{e}^{i \theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{i\left(\theta_1-\theta_2\right)}$.

即 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}$,

$$
\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\operatorname{Arg} z_1-\operatorname{Arg} z_2 .
$$

这表明，**两个复数的商的模等于它们的模的商;幅角等于它们幅角的差。**

从几何图形上看，两个复数的相除，相当于把$z_1$减少$\theta_2$ 角度，同时复数的模缩短$\frac{1}{|z_2|}$

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